MathJax の使い方を練習します.
一次方程式 \( ax + b = 0 \) の解は \[ x = -\frac{b}{a} \] です.
二次方程式 \( ax^2 + bx + c = 0 \) の解は \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \tag{1} \] です.
練習1 \[ \sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n \] 練習2 ガウス積分 \[ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi} \]練習3 関数 \( f(x) \) の導関数は \[ f'(x) = \lim_{\varDelta \to 0} \frac{ f(x + \varDelta x) - f(x)}{\varDelta} \] である.
練習4 \[ \int \tan \theta \, d\theta = \int \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \, d\theta = -\log |\cos \theta| + C \] 練習5 \begin{align} \cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta\\ &= 2 \cos^2 \theta - 1\\ &= 1 - 2 \sin^2 \theta \end{align} 練習6 \[ |x|= \begin{cases} x, & x \geq 0 のとき,\\ -x, & x < 0 のとき. \end{cases} \]練習7 \( n \times n \) 行列 \[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix} \] が逆行列を持つための必要十分条件は, \( \det A \neq 0 \) である.
問題1 オイラーの公式 \[ e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta \] 問題2 テイラー展開 \[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{n}(a)}{n!} (x - a)^n \] 問題3 正規分布 \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left( -\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right) \] 問題4 ニュートンの運動方程式 \[ m \frac{d^2 \overrightarrow{r}}{d t^2} = \overrightarrow{F} \] 問題5 ラグランジュの運動方程式 \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} = 0 \] 問題6 フーリエ変換 \[ \hat{f}(\xi) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-2 \pi i x \cdot \xi }\, dx \] 問題7 コーシーの積分公式 \[ f(\alpha) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - \alpha}\,dz \] 問題8 ガウスの定理 \[ \iiint_V \nabla \cdot \boldsymbol{A}\,dV = \iint_{\partial V} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{n}\,dS \] 問題9 シュレーディンガー方程式 \[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\boldsymbol{r}, t) = \left( - \frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 + V(\boldsymbol{r}, t) \right) \psi(\boldsymbol{r}, t) \] 問題10 熱化学方程式 \[ \mathrm{H_2(g)} + \frac{1}{2} \mathrm{O_2(g)} \rightarrow \mathrm{H_2O(l)} \quad \varDelta H^\circ = -286 \mathrm{kJ} \] 問題11 集合記号など \[ A \cap B = \{ x \mid x \in A \wedge x \in B \} \] 問題12 二項係数 \[ {}_n C_r = \binom{x}{y} = \frac{n!}{r! (n - r)!} \] 問題13 マクスウェル方程式 \begin{align} &\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}, & &\nabla \times \boldsymbol{E} = - \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\\ &\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0, & &\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{i} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \end{align}