$$ \newcommand{\pv}{\mbox{p.v.}} \newcommand{\nm}{\noalign{\smallskip}} %\newcommand{\qed}{ $\Box$} \newcommand{\ds}{\displaystyle} %\newcommand{\pf}{\noindent {\sl Proof}. \ } \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\pd}[2]{\frac {\p #1}{\p #2}} \newcommand{\eqnref}[1]{(\ref {#1})} \newcommand{\Abb}{\mathbb{A}} \newcommand{\Cbb}{\mathbb{C}} \newcommand{\Hbb}{\mathbb{H}} \newcommand{\Ibb}{\mathbb{I}} \newcommand{\Nbb}{\mathbb{N}} \newcommand{\Kbb}{\mathbb{K}} \newcommand{\Rbb}{\mathbb{R}} \newcommand{\Sbb}{\mathbb{S}} \renewcommand{\div}{\mbox{div}\,} \newcommand{\la}{\langle} \newcommand{\ra}{\rangle} \newcommand{\Acal}{\mathcal{A}} \newcommand{\Bcal}{\mathcal{B}} \newcommand{\Ccal}{\mathcal{C}} \newcommand{\Ecal}{\mathcal{E}} \newcommand{\Fcal}{\mathcal{F}} \newcommand{\Hcal}{\mathcal{H}} \newcommand{\Lcal}{\mathcal{L}} \newcommand{\Kcal}{\mathcal{K}} \newcommand{\Ncal}{\mathcal{N}} \newcommand{\Dcal}{\mathcal{D}} \newcommand{\Pcal}{\mathcal{P}} \newcommand{\Qcal}{\mathcal{Q}} \newcommand{\Rcal}{\mathcal{R}} \newcommand{\Scal}{\mathcal{S}} \newcommand{\Tcal}{\mathcal{T}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % define bold face %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\Ba{{\bf a}} \def\Bb{{\bf b}} \def\Bc{{\bf c}} \def\Bd{{\bf d}} \def\Be{{\bf e}} \def\Bf{{\bf f}} \def\Bg{{\bf g}} \def\Bh{{\bf h}} \def\Bi{{\bf i}} \def\Bj{{\bf j}} \def\Bk{{\bf k}} \def\Bl{{\bf l}} \def\Bm{{\bf m}} \def\Bn{{\bf n}} \def\Bo{{\bf o}} \def\Bp{{\bf p}} \def\Bq{{\bf q}} \def\Br{{\bf r}} \def\Bs{{\bf s}} \def\Bt{{\bf t}} \def\Bu{{\bf u}} \def\Bv{{\bf v}} \def\Bw{{\bf w}} \def\Bx{{\bf x}} \def\By{{\bf y}} \def\Bz{{\bf z}} \def\BA{{\bf A}} \def\BB{{\bf B}} \def\BC{{\bf C}} \def\BD{{\bf D}} \def\BE{{\bf E}} \def\BF{{\bf F}} \def\BG{{\bf G}} \def\BH{{\bf H}} \def\BI{{\bf I}} \def\BJ{{\bf J}} \def\BK{{\bf K}} \def\BL{{\bf L}} \def\BM{{\bf M}} \def\BN{{\bf N}} \def\BO{{\bf O}} \def\BP{{\bf P}} \def\BQ{{\bf Q}} \def\BR{{\bf R}} \def\BS{{\bf S}} \def\BT{{\bf T}} \def\BU{{\bf U}} \def\BV{{\bf V}} \def\BW{{\bf W}} \def\BX{{\bf X}} \def\BY{{\bf Y}} \def\BZ{{\bf Z}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Abbreviate definitions of greek symbols %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\Ga}{\alpha} \newcommand{\Gb}{\beta} \newcommand{\Gd}{\delta} \newcommand{\Ge}{\epsilon} \newcommand{\Gve}{\varepsilon} \newcommand{\Gf}{\Gvf} \newcommand{\Gvf}{\varphi} \newcommand{\Gg}{\gamma} \newcommand{\Gc}{\chi} \newcommand{\Gi}{\iota} \newcommand{\Gk}{\kappa} \newcommand{\Gvk}{\varkappa} \newcommand{\Gl}{\lambda} \newcommand{\Gn}{\eta} \newcommand{\Gm}{\mu} \newcommand{\Gv}{\nu} \newcommand{\Gp}{\pi} \newcommand{\Gt}{\theta} \newcommand{\Gvt}{\vartheta} \newcommand{\Gr}{\rho} \newcommand{\Gvr}{\varrho} \newcommand{\Gs}{\sigma} \newcommand{\Gvs}{\varsigma} \newcommand{\Gj}{\Phi^*} \newcommand{\Gu}{\upsilon} \newcommand{\Go}{\omega} \newcommand{\Gx}{\xi} \newcommand{\Gy}{\psi} \newcommand{\Gz}{\zeta} \newcommand{\GD}{\Delta} \newcommand{\GF}{\Phi} \newcommand{\GG}{\Gamma} \newcommand{\GL}{\Lambda} \newcommand{\GP}{\Pi} \newcommand{\GT}{\Theta} \newcommand{\GS}{\Sigma} \newcommand{\GU}{\Upsilon} \newcommand{\GO}{\Omega} \newcommand{\GX}{\Xi} \newcommand{\GY}{\Psi} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\BGG}{{\bf \GG}} \newcommand{\BGf}{\mbox{\boldmath $\Gf$}} \newcommand{\BGvf}{\mbox{\boldmath $\Gvf$}} \newcommand{\Bpsi}{\mbox{\boldmath $\Gy$}} \newcommand{\wBS}{\widetilde{\BS}} \newcommand{\wGl}{\widetilde{\Gl}} \newcommand{\wGm}{\widetilde{\Gm}} \newcommand{\wGv}{\widetilde{\Gv}} \newcommand{\wBU}{\widetilde{\BU}} %%%%%%%%%% \newcommand{\Jfrak}{\mathfrak{J}} %%%%%%%%%% \newcommand{\beq}{\begin{equation}} \newcommand{\eeq}{\end{equation}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\ol{\overline} \def\bs{\backslash} \def\wt{\widetilde} \newcommand{\hatna}{\widehat{\nabla}} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\divergence}{div} \DeclareMathOperator{\Real}{Re} \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} \DeclareMathOperator{\dist}{dist} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $$ Brouwer の不動点定理

Brouwer の不動点定理

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次の定理を証明する.

[Brouwer の不動点定理]

\(\Rbb^d\) の有界な凸閉集合 \(\GO\) から自身への連続写像 \(f\) は不動点を持つ.

まずは次の補題を証明する.

\(g\) を \(\Rbb^d\) に値をもつ \(d + 1\) 変数 \((x_0, \ldots, x_d)\) の \(C^\infty\) 級関数とする. また \(g_{x_i}\), \(i = 0, \ldots d\) を \(g\) の \(x_i\) 偏導関数とし, \(D_i\) を列ベクトル \(g_{x_0}, \ldots, g_{x_{i-1}}\), \(g_{x_{i + 1}}, \ldots, g_{x_d}\) からなる行列の行列式, すなわち \[ D_i := \det (g_{x_0}, \ldots, g_{x_{i-1}}, g_{x_{i+1}}, \ldots, g_{x_d}) \] とする. このとき, \[ \sum_{i = 0}^d (-1)^i \frac{\p}{\p x_i} D_i = 0 \] が成り立つ.

行列式の微分より, \begin{align*} (-1)-i \frac{\p}{\p x_i} D_i =& \sum_{\substack{j = 0 \\ j \neq i}}^d (-1)^i \det (g_{x_0}, \ldots, g_{x_j x_i}, \ldots, g_{x_{i-1}}, g_{x_{i+1}}, \ldots, g_{x_d})\\ =& \sum_{j = 0}^{i - 1} (-1)^{i+j} \det (g_{x_j x_i}, g_{x_0}, \ldots, g_{x_{j-1}}, g_{x_{j+1}}, \ldots, g_{x_{i-1}}, g_{x_{i+1}}, \ldots, g_{x_d})\\ &+ \sum_{j = i + 1}^d (-1)^{i + j - 1} \det (g_{x_j x_i} g_{x_0}, \ldots, g_{x_{i-1}}, g_{x_{i+1}}, \ldots, g_{x_{j-1}}, g_{x_{j+1}}, \ldots, g_{x_d}) \end{align*} が成り立つ. ただし, \(i = 0\) のときは \(\sum_{j = 0}^{i - 1} = 0\), \(i = d\) のときは \(\sum_{j = i + 1}^d = 0\) と解釈する. \(0 \leq j \leq k \leq d\) を固定し, 上式において \[ \det (g_{x_j x_k} g_{x_0}, \ldots, g_{x_{j-1}}, g_{x_{j+1}}, \ldots g_{x_{k-1}}, g_{x_{k+1}}, \ldots, g_{x_d}) \] の項に注目する. この項が和 \(\sum_{i = 0}^d (-1)^i \frac{\p}{\p x_i} D_i\) に現れるのは2項ある. ひとつは \((-1)^j \frac{p}{\p x_j} D_j\) からであり, その係数は \((-1)^{j+k-1}\) である. もうひとつは \((-1)^k \frac{\p}{\p x_k} D_k\) からであり, その係数は \((-1)^{j+k}\) である. 符号が逆であるから, 和 \(\sum_{i = 0}^d (-1)^i \frac{\p}{\p x_i} D_i\) においてこの形の項は残らない. この和の全ての項は上の形の項からなるから, 結局 \(\sum_{i = 0}^d (-1)^i \frac{\p}{\p x_i} D_i = 0\) である.

定理1. の証明

まず, \(\GO\) が原点中心の球の場合に定理を証明すればよいことを示す. \(\GO\) は有界だから, \(\GO\) を含む十分大きな球 \(B_R := \{ x \in \Rbb^d \mid |x| < R \}\) が取れる. また, \(\GO\) は有界凸閉集合だから, 各 \(x \in \ol{B_R}\) に対して \[ |x - y| = \min_{z \in \GO} |x - z| \tag{1} \] となる \(y \in \GO\) が存在する. \(x_1, x_2 \in \ol{B_R}\) に対し, 対応する \(y\) を \(y_1\), \(y_2\) とすると, \(\GO\) は凸であるから, 任意の \(t \in [0, 1]\) に対して \(y_1 + t(y_2 - y_1) \in \GO\) である. よって, (1) より $$ |x_2 - (y_2 + t(y_1 - y_2))|^2 \geq |x_2 - y_2|^2, \quad |x_1 - (y_1 + t(y_2 - y_1))|^2 \geq |x_1 - y_1|^2 $$ が成り立つ. これら2つの不等式の辺々を加えて整理すると, $$ t(x_2 - x_1, y_2 - y_1) - t |y_1 - y_2|^2 + t^2 |y_2 - y_1|^2 \geq 0 $$ が得られる. \(t > 0\) として両辺を \(t\) で割り, \(t \to 0\) とすれば, $$ |y_1 - y_2|^2 \leq (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \leq |x_1 - x_2| |y_1 - y_2|, $$ すなわち \(|y_1 - y_2| \leq |x_1 - x_2|\) が得られる. これにより, 任意の \(x \in \ol{B_R}\) に対して, (1) を満たす \(y \in \GO\) が一意であることが分かる. ここで \(y = g(x)\) とおくと, 先の評価から任意の \(x_1, x_2 \in \ol{B_R}\) に対して \(|g(x_1) - g(x_2)| \leq |x_1 - x_2|\) であるから, 写像 \(g: \ol{B_R} \to \GO\) は連続である.

さて, 写像 \(f \circ g: \ol{B_R} \to \Rbb^d\) を \((f \circ g)(x) := f(g(x))\) で定義すると, この写像 \(f \circ g\) は \(\ol{B_R}\) を \(\GO\) (\(\subset \ol{B_R}\)) に写す連続写像である. よって, 定理が球の場合に成立すると仮定すれば, 写像 \(f \circ g\) は \(\ol{B_R}\) に不動点 \(x_0\) をもつ. すなわち, \[ (f \circ g)(x_0) = f(g(x_0)) = x_0 \tag{2} \] が成り立つことになる. \(f\) の値域は \(\GO\) であるから, \(x_0 \in \GO\) である. \(x_0 \in \GO\) に対しては \(g(x_0) = x_0\) であるから, (2) より \(f(x_0) = x_0\) が成り立つ. すなわち, \(x_0\) は \(f\) の不動点である. 以上より, 原点中心の球に対して定理が証明されれば, 任意の有界凸閉集合でも定理が成立することが示された. このことを踏まえて, 以下では \(\GO\) が閉球 \(\ol{B_R}\) の場合に定理を証明する.

次に, \(f\) が \(C^\infty\) 級関数の場合に定理が示されれば十分であることを示す. \(f\) を \(\ol{B_R}\) から自身への連続関数とする. また, \(\Gr\) をコンパクト台を持つ非負値 \(C^\infty\) 級関数で \[ \int_{\Rbb^d} \Gr(x)\,dx = 1 \] を満たすものとし, \(\Ge > 0\) に対して \(\Gr_\Ge(x) := \Ge^{-d} \Gr(x/\Ge)\), \(x \in \Rbb^d\) で関数 \(\Gr_\Ge\) を定義する. このとき, 関数 \(\Gr_\Ge\) についても $$ \int_{\Rbb^d} \Gr_\Ge(x)\,dx = 1 $$ が成立することに注意する. この関数 \(\Gr_\Ge\) を用いて, 関数 \(f_\Ge\) を $$ f_\Ge(x) := (\Gr_\Ge * f)(x) = \int_{B_R} \Gr_\Ge(x - y) f(y)\,dy $$ で定義する. 仮定より任意の \(y \in \ol{B_R}\) に対して \(|f(y)| \leq R\) であるから, 任意の \(x \in \ol{B_R}\) に対して $$ |f_\Ge(x)| \leq \int_{B_R} |\Gr_\Ge(x - y) f(y)|\,dy \leq R \int_{\Rbb^d} \Gr_\Ge(x - y)\,dy = R $$ が成り立つ. すなわち, 関数 \(f_\Ge\) は \(\ol{B_R}\) から自身への \(C^\infty\) 級関数である.

もし \(C^\infty\) 級関数に対して定理が証明されたとすると, \(f_\Ge\) は \(\ol{B_R}\) 内に不動点 \(x_\Ge\) を持つことになる. すなわち, \(f_\Ge(x_\Ge) = x_\Ge\) が成り立つ. \(\ol{B_R}\) はコンパクト集合であるから, 点列 \(\{ x_\Ge \}\) から収束する部分列が取れる. この部分列を再び \(\{ x_\Ge \}\) と表すこととし, その極限を \(x\) とすれば, 三角不等式により \begin{align*} |f(x) - x| \leq& |f(x) - f(x_\Ge)| + |f(x_\Ge) - f_\Ge(x_\Ge)| + |f_\Ge(x_\Ge) - x_\Ge| + |x_\Ge - x|\\ \leq& |f(x) - x_\Ge| + \max_{y \in \ol{B_R}} |f(y) - f_\Ge(y)| + |x_\Ge - x| \end{align*} が成り立つ. 点列 \(\{ x_\Ge \}\) の取り方と \(f\) の連続性から右辺第1項および第3項は \(\Ge \downarrow 0\) で0に収束する. また, 関数 \(\Gr_\Ge\) の性質から \(f_\Ge\) は \(f\) に \(\ol{B_R}\) 上一様収束する. すなわち, 右辺第2項も0に収束する. したがって, \(f(x) = x\). すなわち \(f\) は不動点を持つ. 以上より, \(C^\infty\) 級関数に対して定理が証明されれば十分であることが証明された. これを踏まえて, 以下では \(f\) が \(C^\infty\) 級関数であることを仮定する.

最後に, \(f\) が不動点を持たないと仮定して矛盾を導く. 各 \(x \in \ol{B_R}\) に対して, \(\Gl(x)\) を二次方程式 $$ |x + \Gl(x - f(x))|^2 = R^2 $$ すなわち $$ \Gl^2 |x - f(x)|^2 + 2 \Gl (x, x - f(x)) + |x|^2 - R^2 = 0 $$ の非負根とする. 関数 \(f\) は \(\ol{B_R}\) に不動点を持たないと仮定したので, 任意の \(x \in \ol{B_R}\) に対して \(|x - f(x)| > 0\) が成り立つことに注意すると, 二次方程式の根の公式より \(\Gl(x)\) は $$ \Gl(x) = \frac{-(x, x - f(x)) + \sqrt{(x, x - f(x))^2 + (R^2 - |x|^2)|x - f(x)|^2}}{|x - f(x)|^2} $$ と表される. 明らかに関数 \(\Gl\) は \(B_R\) 上正値であり, \(\p B_R\) 上で0となる.

ここで, 写像 \(\Gf: [0, 1] \times \ol{B_R} \to \ol{B_R}\) を \[ \Gf(t, x) := x + t \Gl(x)(x - f(x)) \tag{3} \] で定義する. 関数 \(f\) が \(C^\infty\) 級であるから \(\Gf\) も \(C^\infty\) 級写像であって, 次を満たす.

  1. 任意の \(x \in \ol{B_R}\) に対して \(\Gf(0, x) = x\).
  2. 任意の \(x \in \ol{B_R}\) に対して \(|\Gf(1, x)| = R\).
  3. 任意の \(t \in (0, 1)\) と任意の \(x \in \p B_R\) に対して \(\frac{\p}{\p t} \Gf(t, x) = 0\).

各 \(t \in [0, 1]\) に対し, 変換 (3) のヤコビ行列式を考える: $$ J_0(t, x) := \det \left( \frac{\p \Gf(t, x)}{\p x_1}, \ldots, \frac{\p \Gf(t, x)}{\p x_d} \right). $$ また, \([0, 1]\) 上の関数 \(I\) を $$ I(t) := \int_{B_R} J_0(t, x)\,dx $$ で定義する. 関数 \(\Gf\) の性質 1. により, $$ I(0) = \int_{B_R} \,dx = |B_R| \neq 0 $$ であることが分かる. また, 性質 2. より任意の \(x \in \ol{B_R}\) に対して \(|\Gf(1, x)|^2 = R^2\) であるが, これを \(x_j\) で微分すると, $$ \begin{pmatrix} \frac{\p \Gf_1}{\p x_1} && \cdots && \frac{\p \Gf_d}{\p x_1}\\ \vdots && \ddots && \vdots\\ \frac{\p \Gf_1}{\p x_d} && \cdots && \frac{\p \Gf_d}{\p x_d} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Gf_1\\ \vdots\\ \Gf_d \end{pmatrix} = 0, \quad t = 1, x \in \ol{B_R} $$ である. \(|\Gf(1, x)| = R > 0\) であるから, 上式は非自明解 \(\Gf = (\Gf_1, \ldots, \Gf_d)^T\) をもつ. ゆえに, \(J_0(1, x) = 0\) である. これにより, \(I(1) = 0\) も従う.

補題 1. で \(x_0 = t\), \(x_j = x_j\), \(j = 1, \ldots, d\), \(g = \Gf\) とおけば, $$ \frac{\p}{\p t} D_0(t, x) = - \sum_{j = 1}^d (-1)^j \frac{\p}{\p x_j} D_j(t, x) $$ であるから, \begin{align*} \frac{d}{dt} I(t) =& \int_{B_R} \frac{\p}{\p t} D_0(t, x)\,dx\\ =& - \sum_{j = 1}^d \int_{B_R} (-1)^j \frac{\p}{\p x_j} D_j(t, x)\,dx\\ =& - \sum_{j = 1}^d (-1)^j \int_{\p B_R} D_j(t, x) \frac{x_j}{R}\,d\Gs \end{align*} である. 他方, \(\Gf\) の性質 3. より \(x \in \p B_R\) のとき \(\frac{\p}{\p t} \Gf(t, x) = 0\) であるから, \(x \in \p B_R\) において $$ D_j(t, x) = \det (\Gf_t(t, x), \Gf_{x_1}(t, x), \ldots, \Gf_{x_{j - 1}}(t, x), \Gf_{x_{j + 1}}(t, x), \ldots, \Gf_d(t, x)) = 0 $$ が成り立つ. したがって, \(\frac{d}{dt} I(t) = 0\), すなわち関数 \(I\) は区間 \([0, 1]\) 上定数関数である. ところが, これは \(I(0) \neq 0\), \(I(1) = 0\) に矛盾する. 以上より, 関数 \(f\) は不動点を持たなければならない. これで定理が証明された.

参考文献

  1. 増田久弥, 非線型数学, 朝倉書店 (1985).