$$ \newcommand{\pv}{\mbox{p.v.}} \newcommand{\nm}{\noalign{\smallskip}} %\newcommand{\qed}{ $\Box$} \newcommand{\ds}{\displaystyle} %\newcommand{\pf}{\noindent {\sl Proof}. \ } \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\pd}[2]{\frac {\p #1}{\p #2}} \newcommand{\eqnref}[1]{(\ref {#1})} \newcommand{\Abb}{\mathbb{A}} \newcommand{\Cbb}{\mathbb{C}} \newcommand{\Hbb}{\mathbb{H}} \newcommand{\Ibb}{\mathbb{I}} \newcommand{\Nbb}{\mathbb{N}} \newcommand{\Kbb}{\mathbb{K}} \newcommand{\Rbb}{\mathbb{R}} \newcommand{\Sbb}{\mathbb{S}} \renewcommand{\div}{\mbox{div}\,} \newcommand{\la}{\langle} \newcommand{\ra}{\rangle} \newcommand{\Acal}{\mathcal{A}} \newcommand{\Bcal}{\mathcal{B}} \newcommand{\Ccal}{\mathcal{C}} \newcommand{\Ecal}{\mathcal{E}} \newcommand{\Fcal}{\mathcal{F}} \newcommand{\Hcal}{\mathcal{H}} \newcommand{\Lcal}{\mathcal{L}} \newcommand{\Kcal}{\mathcal{K}} \newcommand{\Ncal}{\mathcal{N}} \newcommand{\Dcal}{\mathcal{D}} \newcommand{\Pcal}{\mathcal{P}} \newcommand{\Qcal}{\mathcal{Q}} \newcommand{\Rcal}{\mathcal{R}} \newcommand{\Scal}{\mathcal{S}} \newcommand{\Tcal}{\mathcal{T}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % define bold face %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\Ba{{\bf a}} \def\Bb{{\bf b}} \def\Bc{{\bf c}} \def\Bd{{\bf d}} \def\Be{{\bf e}} \def\Bf{{\bf f}} \def\Bg{{\bf g}} \def\Bh{{\bf h}} \def\Bi{{\bf i}} \def\Bj{{\bf j}} \def\Bk{{\bf k}} \def\Bl{{\bf l}} \def\Bm{{\bf m}} \def\Bn{{\bf n}} \def\Bo{{\bf o}} \def\Bp{{\bf p}} \def\Bq{{\bf q}} \def\Br{{\bf r}} \def\Bs{{\bf s}} \def\Bt{{\bf t}} \def\Bu{{\bf u}} \def\Bv{{\bf v}} \def\Bw{{\bf w}} \def\Bx{{\bf x}} \def\By{{\bf y}} \def\Bz{{\bf z}} \def\BA{{\bf A}} \def\BB{{\bf B}} \def\BC{{\bf C}} \def\BD{{\bf D}} \def\BE{{\bf E}} \def\BF{{\bf F}} \def\BG{{\bf G}} \def\BH{{\bf H}} \def\BI{{\bf I}} \def\BJ{{\bf J}} \def\BK{{\bf K}} \def\BL{{\bf L}} \def\BM{{\bf M}} \def\BN{{\bf N}} \def\BO{{\bf O}} \def\BP{{\bf P}} \def\BQ{{\bf Q}} \def\BR{{\bf R}} \def\BS{{\bf S}} \def\BT{{\bf T}} \def\BU{{\bf U}} \def\BV{{\bf V}} \def\BW{{\bf W}} \def\BX{{\bf X}} \def\BY{{\bf Y}} \def\BZ{{\bf Z}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Abbreviate definitions of greek symbols %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\Ga}{\alpha} \newcommand{\Gb}{\beta} \newcommand{\Gd}{\delta} \newcommand{\Ge}{\epsilon} \newcommand{\Gve}{\varepsilon} \newcommand{\Gf}{\Gvf} \newcommand{\Gvf}{\varphi} \newcommand{\Gg}{\gamma} \newcommand{\Gc}{\chi} \newcommand{\Gi}{\iota} \newcommand{\Gk}{\kappa} \newcommand{\Gvk}{\varkappa} \newcommand{\Gl}{\lambda} \newcommand{\Gn}{\eta} \newcommand{\Gm}{\mu} \newcommand{\Gv}{\nu} \newcommand{\Gp}{\pi} \newcommand{\Gt}{\theta} \newcommand{\Gvt}{\vartheta} \newcommand{\Gr}{\rho} \newcommand{\Gvr}{\varrho} \newcommand{\Gs}{\sigma} \newcommand{\Gvs}{\varsigma} \newcommand{\Gj}{\Phi^*} \newcommand{\Gu}{\upsilon} \newcommand{\Go}{\omega} \newcommand{\Gx}{\xi} \newcommand{\Gy}{\psi} \newcommand{\Gz}{\zeta} \newcommand{\GD}{\Delta} \newcommand{\GF}{\Phi} \newcommand{\GG}{\Gamma} \newcommand{\GL}{\Lambda} \newcommand{\GP}{\Pi} \newcommand{\GT}{\Theta} \newcommand{\GS}{\Sigma} \newcommand{\GU}{\Upsilon} \newcommand{\GO}{\Omega} \newcommand{\GX}{\Xi} \newcommand{\GY}{\Psi} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\BGG}{{\bf \GG}} \newcommand{\BGf}{\mbox{\boldmath $\Gf$}} \newcommand{\BGvf}{\mbox{\boldmath $\Gvf$}} \newcommand{\Bpsi}{\mbox{\boldmath $\Gy$}} \newcommand{\wBS}{\widetilde{\BS}} \newcommand{\wGl}{\widetilde{\Gl}} \newcommand{\wGm}{\widetilde{\Gm}} \newcommand{\wGv}{\widetilde{\Gv}} \newcommand{\wBU}{\widetilde{\BU}} %%%%%%%%%% \newcommand{\Jfrak}{\mathfrak{J}} %%%%%%%%%% \newcommand{\beq}{\begin{equation}} \newcommand{\eeq}{\end{equation}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\ol{\overline} \def\bs{\backslash} \def\wt{\widetilde} \newcommand{\hatna}{\widehat{\nabla}} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\divergence}{div} \DeclareMathOperator{\Real}{Re} \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} \DeclareMathOperator{\dist}{dist} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $$ Rellich-Kondrachov の定理

Rellich-Kondrachov の定理

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Rellich-Kondrachov の定理について概説する.

\(n \geq 2\), \(\GO\) を \(\Rbb^n\) の有界領域とし, その境界 \(\p \GO\) は \(C^1\) 級であると仮定する. このとき, Sobolev 空間 \(W^{m, p}(\GO)\) と Lebesgue 空間 \(L^p(\GO)\) には次のような包含関係があった.

[Sobolev の埋蔵定理]

\(m \geq 1\), \(1 \leq p \leq \infty\) とする. このとき, 次の包含関係が成立する.

  1. \(1/p - m/n > 0\) のとき, \(1/q = 1/p - m/n\) を満たす実数 \(q\) に対して \(W^{m, p}(\GO) \subset L^q(\GO)\) が成立する.
  2. \(1/p - m/n = 0\) のとき, \(q \geq p\) を満たす任意の実数 \(q\) に対して \(W^{m, p}(\GO) \subset L^q(\GO)\) が成立する.
  3. \(1/p - m/n < 0\) のとき, \(W^{m, p}(\GO) \subset L^\infty(\GO)\) が成立する. さらに, \(p < \infty\) かつ \(m - n/p > 0\) が整数でないと仮定して, \(k := [m - n/p]\), \(\Gt := m - n/p - k\) とおくと, ある定数 \(C\) が存在して, 任意の \(u \in W^{m, p}(\GO)\) に対して \begin{align*} &\| D^\Ga u \|_{L^\infty(\GO)} \leq C \| u \|_{W^{m, p}(\GO)}, &&|\Ga| \leq k, \nonumber\\ &|D^\Ga u(x) - D^\Ga u(y)| \leq C \| u \|_{W^{m, p}(\GO)} |x - y|^\Gt, &&|\Ga| = k, \quad x, y \in \ol{\GO} \label{Holder} \end{align*} が成立する. 特に, \(W^{m, p}(\GO) \subset C^k(\ol{\GO})\) である.

定理1. の証明は, \(m = 1\) の場合に帰着される. Rellich-Kondrachov の定理は, この包含がコンパクト埋め込みであることを主張する.

[Rellich-Kondrachov の定理]

\(1 \leq p < \infty\) とする. このとき, 次の包含はコンパクト埋め込みである.

  1. \(1/p - 1/n > 0\) のとき, \(1/q = 1/p - 1/n\) を満たす実数 \(q\) に対して \(W^{1, p}(\GO) \subset L^q(\GO)\).
  2. \(1/p - 1/n = 0\) のとき, \(q \geq p\) を満たす任意の実数 \(q\) に対して \(W^{1, p}(\GO) \subset L^q(\GO)\).
  3. \(1/p - 1/n < 0\) のとき, \(W^{1, p}(\GO) \subset C(\ol{\GO})\).
特に, 包含 \(W^{1, p}(\GO) \subset L^p(\GO)\) は任意の \(n\) と \(p\) についてコンパクト埋め込みである.

Kolmogorov-Riesz-Fréchet の定理

定理2. の証明の準備として, 次の補題を示す.

[Kolmogorov-Riesz-Fréchet の定理]

\(1 \leq p < \infty\) とし, \(\Fcal\) を \(L^p(\Rbb^n)\) の有界集合とする. いま, 任意の \(\Ge > 0\) に対してある \(\Gd > 0\) が存在して, \(h \in \Rbb^n\) が \(|h| < \Gd\) を満たすならば \[ \left( \int_{\Rbb^n} |f(x + h) - f(x)|^p\,dx \right)^{1/p} < \Ge \tag{1} \] が任意の \(f \in \Fcal\) に対して成立すると仮定する. さらに, \(\GO\) を \(\Rbb^n\) の有界集合とし, $$ \Fcal|_\GO := \{ f|_\GO \mid f \in \Fcal \} $$ と定義する. このとき, \(\Fcal|_\GO\) は \(L^p(\GO)\) で相対コンパクトである.

証明は Brezis に基づき4段階に分けて行う.

\(\{ \Gr_m \}_{m \in \Nbb} \subset C^\infty_0(\Rbb^n)\) を mollifier, すなわち \(\Gr_m \geq 0\), \(\supp \Gr_m \subset B(0, 1/m)\), $$ \int_{\Rbb^n} \Gr_m(x)\,dx = 1 $$ を満たすものとする. このとき, 任意の \(f \in \Fcal\) と任意の \(m > 1/\Gd\) に対して \[ \| \Gr_m * f - f \|_{L^p(\Rbb^n)} \leq \Ge \tag{2} \] が成立する. 実際, Hölder の不等式より \begin{align*} |(\Gr_m * f)(x) - f(x)| \leq& \int_{\Rbb^n} |f(x - y) - f(x)| \Gr_m(y)\,dy\\ \leq& \left( \int_{\Rbb^n} |f(x - y) - f(x)|^p \Gr_m(y)\,dy \right)^{1/p} \end{align*} がほとんど至るところの \(x \in \Rbb^n\) で成立するから, これを積分して \begin{align*} \int_{\Rbb^n}|(\Gr_m * f)(x) - f(x)|\,dx \leq& \int_{\Rbb^n} \left( \int_{\Rbb^n} |f(x - y) - f(x)|^p \Gr_m(y)\,dy \right)\,dx\\ =& \int_{B(0, 1/m)} \Gr_m(y) \left( \int_{\Rbb^n} |f(x - y) - f(x)|^p\,dx \right)\,dy\\ \leq& \Ge^p \end{align*} が得られる. ここで, \(m\) および \(\Fcal\) に対する仮定を用いた. 従って, 任意の \(f \in \Fcal\) と任意の \(m > 1/\Gd\) に対して (2) が成立することが証明された.

次に, 任意の \(m \in \Nbb\) に対して \(m\) のみに依存する定数 \(C_m\) が存在して, 任意の \(f \in \Fcal\) に対して \[ \| \Gr_m * f \|_{L^\infty(\Rbb^n)} \leq C_m \| f \|_{L^p(\Rbb^n)}, \tag{3} \] および任意の \(f \in \Fcal\), \(x_1, x_2 \in \Rbb^n\) に対して \[ |(\Gr_m * f)(x_1) - (\Gr_m * f)(x_2)| \leq C_m \| f \|_{L^p(\Rbb^n)} |x_1 - x_2| \tag{4} \] が成立することを証明する. 再び Hölder の不等式より任意の \(f \in \Fcal\), \(x \in \Rbb^n\) に対して $$ |(\Gr_m * f)(x)| \leq \int_{\Rbb^n} |f(x - y)| |\Gr_m(y)|\,dy \leq \| f \|_{L^p(\Rbb^n)} \| \Gr_m \|_{L^{p'}(\Rbb^n)} $$ が成り立つ. ただし, \(p'\) は \(1 < p' \leq \infty\), \(1/p + 1/p' = 1\) を満たすものである. また, \(\nabla (\Gr_m * f) = (\nabla \Gr_m) * f\) が成り立つから, 任意の \(f \in \Fcal\), \(x_1, x_2 \in \Rbb^n\) に対して \begin{align*} |(\Gr_m * f)(x_1) - (\Gr_m * f)(x_2)| \leq& \int_{\Rbb^n} |(x_1 - x_2) \cdot \nabla (\Gr_m * f)(x_2 + t(x_1 - x_2))|\,dt\\ \leq& |x_1 - x_2| \| (\nabla \Gr_m) * f \|_{L^\infty(\Rbb^n)}\\ \leq& \| \nabla \Gr_m \|_{L^{p'}(\Rbb^n)} \| f \|_{L^p(\Rbb^n)} |x_1 - x_2| \end{align*} が成り立つ. \(C_m := \max \{ \| \Gr_m \|_{L^{p'}(\Rbb^n)}, \| \nabla \Gr_m \|_{L^{p'}(\Rbb^n)} \}\) と取れば, (3) および (4) が従う.

続いて, 任意の \(\Ge > 0\) と \(\Rbb^n\) の任意の有界領域 \(\GO\) に対してある部分領域 \(\Go \subset \GO\) が存在して, 任意の \(f \in \Fcal\) に対して \[ \| f \|_{L^p(\GO \backslash \Go)} < \Ge \tag{5} \] が成立することを確認する. Minkowski の不等式より $$ \| f \|_{L^p(\GO \backslash \Go)} \leq \| f - (\Gr_m * f) \|_{L^p(\Rbb^n)} + \| \Gr_m * f \|_{L^p(\GO \backslash \Go)} $$ が成立するが, (2) より \(m > 1/\Gd\) を満たすように \(m\) を取れば \(\| f - (\Gr_m * f) \|_{L^p(\Rbb^n)} \leq \Ge\) が成り立つ. また, \(\Gr_m * f\) は \(\GO\) 上で有界連続であるから, \(\Go \subset \GO\) を適切に取れば \(\| \Gr_m * f \|_{L^p(\GO \backslash \Go)} < \Ge\) が成り立つようにできる. よって, (5) が成立するように \(\Go \subset \GO\) を取ることができる.

以上の準備を踏まえ, 最後に 補題1. を証明する. \(\Ge > 0\) を1つ取り, これに応じて (1) が成立するように \(\Gd > 0\) を1つ取って固定する. さらに, \(m > 1/\Gd\) を満たす \(m \in \Nbb\) を1つ取り固定する. 加えて, \(\Rbb^n\) の有界領域 \(\GO\) を1つ取り, (5) が成り立つように部分領域 \(\Go\) を1つ取り固定する. このとき, $$ \Hcal := \{ (\Gr_m * f) |_{\ol{\Go}} \mid f \in \Fcal \} $$ で定義すると, (3) および (4) より \(\Hcal\) は \(\ol{\Go}\) 上で一様有界かつ同程度連続である. よって, Ascoli-Arzelà の定理より \(\Hcal\) は \(C(\ol{\Go})\) で相対コンパクトである. したがって, \(\Hcal\) は \(L^p(\Go)\) でも相対コンパクトである. ゆえに, \(\Hcal\) は \(L^p(\Go)\) における半径 \(\Ge\) の有限個の球で被覆できる. すなわち, ある \(\{ g_i \}_{i = N} \subset L^p(\Go)\) が存在して, $$ \Hcal \subset \cup_{i = 1}^N B(g_i, \Ge) $$ とできる.

そこで, \(\GO\) 上の関数 \(\ol{g_i}\) を $$ \ol{g_i} := \begin{cases} g_i, &\mbox{ on } \Go,\\ 0, &\mbox{ on } \GO \backslash \Go \end{cases} $$ で定義し, \(L^p(\GO)\) の開球 \(B(\ol{g_i}, 3\Ge)\), \(1 \leq i \leq N\) を考える. このとき, $$ \Fcal|_\GO \subset \cup_{i = 1}^N B(\ol{g_i}, 3\Ge) $$ が成立する. 実際, 任意の \(f \in \Fcal|_\GO\) に対して $$ \| (\Gr_m * f) - g_i \|_{L^p(\Go)} < \Ge $$ が成り立つ \(i\) が存在する. \(\ol{g_i}\) の定義より $$ \| f - \ol{g_i} \|_{L^p(\GO)}^p = \int_{\GO \backslash \Go} |f(x)|^p\,dx + \int_{\Go} |f(x) - g(x)|^p\,dx $$ であるから, (4), (5) より \begin{align*} \| f - \ol{g_i} \|_{L^p(\GO)} <& \Ge + \| f - g_i \|_{L^p(\Go)}\\ \leq& \Ge + \| f - (\Gr_m * f) \|_{L^p(\GO)} + \| (\Gr_m * f) - g_i \|_{L^p(\Go)}\\ \leq& 3\Ge \end{align*} が成り立つ. すなわち, \(f \in B(\ol{g_i}, 3\Ge)\) である. したがって, \(\Fcal|_\GO \subset \cup_{i = 1}^N B(\ol{g_i}, 3\Ge)\) が証明された.

以上により, \(\Fcal|_\GO\) が \(L^p(\GO)\) で相対コンパクトであることが証明された.

定理2. の証明

定理2. の証明を行う. \(p > n\) の場合は, 定理1. と Ascoli-Arzelà の定理から結論が従う. また, \(p = n\) の場合は \(1 \leq p < n\) の場合と同様にして証明される. よって, 以下では \(1 \leq p < n\) の場合について証明する.

\(\Hcal\) を \(W^{1, p}(\GO)\) の単位球, \(P: W^{1, p}(\GO) \rightarrow W^{1, p}(\Rbb^n)\) を延長作用素とし, \(\Fcal := P(\Hcal)\) とおく. \(\Hcal\) が \(L^q(\GO)\), \(1 \leq q \< p^*\) で相対コンパクトであることを証明するために, \(\Fcal\) が補題1. の仮定を満たすことを証明する.

まず, \(q \geq p\) の場合のみ考えれば十分であることに注意する. 実際, \(1 \leq q < p\) のとき, 任意の \(u \in W^{1, p}(\GO)\) に対して $$ \| u \|_{L^q(\GO)} \leq |\GO|^{p/(p - q)} \| u \|_{L^p(\GO)} $$ が成り立つから, \(W^{1, p}(\GO)\) の有界点列 \(\{ u_n \}\) が \(L^p(\GO)\) で強収束するならば, \(L^q(\GO)\) でも強収束する. よって, \(1 \leq q < p\) の場合については, \(q = p\) の場合のみを考えればよい.

\(q \geq p\) とする. \(\Fcal\) は \(W^{1, p}(\Rbb^n)\) で有界であるから, 定理1. より \(\Fcal\) は \(L^q(\Rbb^n)\) でも有界である. よって, 以下では任意の \(\Ge > 0\) に対してある \(\Gd > 0\) が存在して, \(h \in \Rbb^n\) が \(|h| < \Gd\) を満たすならば $$ \left( \int_{\Rbb^n} |f(x + h) - f(x)|^q\,dx \right)^{1/q} < \Ge $$ が任意の \(f \in \Fcal\) に対して成立することを証明すればよい.

ところで, 任意の \(u \in W^{1, p}(\Rbb^n)\) と任意の \(h \in \Rbb^n\) に対して $$ \int_{\Rbb^n} |u(x + h) - u(x)|^p\,dx \leq |h|^p \int_{\Rbb^n} |\nabla u(x)|^p\,dx $$ が成り立つ. 実際, \(u \in C^\infty_0(\Rbb^n)\) に対して, \begin{align*} \int_{\Rbb^n} |u(x + h) - u(x)|^p\,dx =& \int_{\Rbb^n} \left| \int_0^1 \frac{d}{dt} u(x + th)\,dt \right|^p\,dx\\ \leq& |h|^p \int_{\Rbb^n} \left( \int_0^1 |\nabla u(x + t h)|\,dt \right)^p\,dx\\ \leq& |h|^p \int_0^1 \int_{\Rbb^n} |\nabla u(x + th)|^p\,dx\,dt\\ =& |h|^p \int_{\Rbb^n} |\nabla u(x)|^p\,dx \end{align*} が成り立つ. \(C^\infty_0(\Rbb^n)\) は \(W^{1, p}(\Rbb^n)\) で稠密であるから, この不等式は任意の \(u \in W^{1, p}(\Rbb^n)\) に対して成り立つ.

\(F := \sup_{f \in \Fcal} \| f \|_{W^{1, p}(\Rbb^n)}\) とおく. 先の不等式から, 任意の \(\Ge > 0\) に対して \(\Gd = \Ge/ F\) ととれば, \(|h| < \Gd\) のとき $$ \left( \int_{\Rbb^n} |u(x + h) - u(x)|^p\,dx \right)^{1/p} \leq |h| \| \nabla f \|_{L^p(\Rbb^n)} < \Ge $$ が任意の \(f \in \Fcal\) に対して成り立つ. また, \(p \leq q < p^*\) に対してある \(0 < \Ga \leq 1\) が存在して, $$ \frac{1}{q} = \frac{\Ga}{p} + \frac{1 - \Ga}{p^*} $$ が成り立つ. よって, 補間定理より \begin{align*} \left( \int_{\Rbb^n} |u(x + h) - u(x)|^q\,dx \right)^{1/q} \leq& \left( \int_{\Rbb^n} |u(x + h) - u(x)|^p\,dx \right)^{\Ga/p}\\ &\times \left( \int_{\Rbb^n} |u(x + h) - u(x)|^{p^*}\,dx \right)^{(1 - \Ga)/p^*}\\ \leq& |h|^\Ga \| \nabla u \|_{L^p(\Rbb^n)}^\Ga (2 \| f \|_{L^{p^*}(\Rbb^n)})^{1 - \Ga}\\ \leq& C |h|^\Ga \end{align*} が成り立つ. ここで, \(p < n\) のとき \(W^{1, p}(\Rbb^n) \subset L^{p^*}(\Rbb^n)\) であるから \(\Fcal\) が \(L^{p^*}(\Rbb^n)\) で有界であることを用いた. この評価から, \(\Fcal\) が \(L^q(\Rbb^n)\) で不等式 (1) を満たすことが分かる.

以上より, 補題1. から 定理2. が成立することが分かる.

参考文献

  1. R. Adams and J. Fournier, Sobolev Spaces, Academic Press, 2nd edition (2003).
  2. H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, New York, (2011).
  3. 黒田 成俊, 関数解析, 共立出版 (1980).
  4. 宮島 静雄, 関数解析, 横浜図書, 第2版 (2014).