$$ \newcommand{\pv}{\mbox{p.v.}} \newcommand{\nm}{\noalign{\smallskip}} %\newcommand{\qed}{ $\Box$} \newcommand{\ds}{\displaystyle} %\newcommand{\pf}{\noindent {\sl Proof}. \ } \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\pd}[2]{\frac {\p #1}{\p #2}} \newcommand{\eqnref}[1]{(\ref {#1})} \newcommand{\Abb}{\mathbb{A}} \newcommand{\Cbb}{\mathbb{C}} \newcommand{\Hbb}{\mathbb{H}} \newcommand{\Ibb}{\mathbb{I}} \newcommand{\Nbb}{\mathbb{N}} \newcommand{\Kbb}{\mathbb{K}} \newcommand{\Rbb}{\mathbb{R}} \newcommand{\Sbb}{\mathbb{S}} \renewcommand{\div}{\mbox{div}\,} \newcommand{\la}{\langle} \newcommand{\ra}{\rangle} \newcommand{\Acal}{\mathcal{A}} \newcommand{\Bcal}{\mathcal{B}} \newcommand{\Ccal}{\mathcal{C}} \newcommand{\Ecal}{\mathcal{E}} \newcommand{\Fcal}{\mathcal{F}} \newcommand{\Hcal}{\mathcal{H}} \newcommand{\Lcal}{\mathcal{L}} \newcommand{\Kcal}{\mathcal{K}} \newcommand{\Ncal}{\mathcal{N}} \newcommand{\Dcal}{\mathcal{D}} \newcommand{\Pcal}{\mathcal{P}} \newcommand{\Qcal}{\mathcal{Q}} \newcommand{\Rcal}{\mathcal{R}} \newcommand{\Scal}{\mathcal{S}} \newcommand{\Tcal}{\mathcal{T}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % define bold face %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\Ba{{\bf a}} \def\Bb{{\bf b}} \def\Bc{{\bf c}} \def\Bd{{\bf d}} \def\Be{{\bf e}} \def\Bf{{\bf f}} \def\Bg{{\bf g}} \def\Bh{{\bf h}} \def\Bi{{\bf i}} \def\Bj{{\bf j}} \def\Bk{{\bf k}} \def\Bl{{\bf l}} \def\Bm{{\bf m}} \def\Bn{{\bf n}} \def\Bo{{\bf o}} \def\Bp{{\bf p}} \def\Bq{{\bf q}} \def\Br{{\bf r}} \def\Bs{{\bf s}} \def\Bt{{\bf t}} \def\Bu{{\bf u}} \def\Bv{{\bf v}} \def\Bw{{\bf w}} \def\Bx{{\bf x}} \def\By{{\bf y}} \def\Bz{{\bf z}} \def\BA{{\bf A}} \def\BB{{\bf B}} \def\BC{{\bf C}} \def\BD{{\bf D}} \def\BE{{\bf E}} \def\BF{{\bf F}} \def\BG{{\bf G}} \def\BH{{\bf H}} \def\BI{{\bf I}} \def\BJ{{\bf J}} \def\BK{{\bf K}} \def\BL{{\bf L}} \def\BM{{\bf M}} \def\BN{{\bf N}} \def\BO{{\bf O}} \def\BP{{\bf P}} \def\BQ{{\bf Q}} \def\BR{{\bf R}} \def\BS{{\bf S}} \def\BT{{\bf T}} \def\BU{{\bf U}} \def\BV{{\bf V}} \def\BW{{\bf W}} \def\BX{{\bf X}} \def\BY{{\bf Y}} \def\BZ{{\bf Z}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Abbreviate definitions of greek symbols %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\Ga}{\alpha} \newcommand{\Gb}{\beta} \newcommand{\Gd}{\delta} \newcommand{\Ge}{\epsilon} \newcommand{\Gve}{\varepsilon} \newcommand{\Gf}{\Gvf} \newcommand{\Gvf}{\varphi} \newcommand{\Gg}{\gamma} \newcommand{\Gc}{\chi} \newcommand{\Gi}{\iota} \newcommand{\Gk}{\kappa} \newcommand{\Gvk}{\varkappa} \newcommand{\Gl}{\lambda} \newcommand{\Gn}{\eta} \newcommand{\Gm}{\mu} \newcommand{\Gv}{\nu} \newcommand{\Gp}{\pi} \newcommand{\Gt}{\theta} \newcommand{\Gvt}{\vartheta} \newcommand{\Gr}{\rho} \newcommand{\Gvr}{\varrho} \newcommand{\Gs}{\sigma} \newcommand{\Gvs}{\varsigma} \newcommand{\Gj}{\Phi^*} \newcommand{\Gu}{\upsilon} \newcommand{\Go}{\omega} \newcommand{\Gx}{\xi} \newcommand{\Gy}{\psi} \newcommand{\Gz}{\zeta} \newcommand{\GD}{\Delta} \newcommand{\GF}{\Phi} \newcommand{\GG}{\Gamma} \newcommand{\GL}{\Lambda} \newcommand{\GP}{\Pi} \newcommand{\GT}{\Theta} \newcommand{\GS}{\Sigma} \newcommand{\GU}{\Upsilon} \newcommand{\GO}{\Omega} \newcommand{\GX}{\Xi} \newcommand{\GY}{\Psi} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\BGG}{{\bf \GG}} \newcommand{\BGf}{\mbox{\boldmath $\Gf$}} \newcommand{\BGvf}{\mbox{\boldmath $\Gvf$}} \newcommand{\Bpsi}{\mbox{\boldmath $\Gy$}} \newcommand{\wBS}{\widetilde{\BS}} \newcommand{\wGl}{\widetilde{\Gl}} \newcommand{\wGm}{\widetilde{\Gm}} \newcommand{\wGv}{\widetilde{\Gv}} \newcommand{\wBU}{\widetilde{\BU}} %%%%%%%%%% \newcommand{\Jfrak}{\mathfrak{J}} %%%%%%%%%% \newcommand{\beq}{\begin{equation}} \newcommand{\eeq}{\end{equation}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\ol{\overline} \def\bs{\backslash} \def\wt{\widetilde} \newcommand{\hatna}{\widehat{\nabla}} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\divergence}{div} \DeclareMathOperator{\Real}{Re} \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} \DeclareMathOperator{\dist}{dist} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $$ Sobolev の埋蔵定理

Sobolev の埋蔵定理

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Sobolev の埋蔵定理について概説する.

全空間における Sobolev の埋蔵定理

全空間 \(\Rbb^n\) 上の Sobolev 空間 \(W^{m, p}(\Rbb^n)\) について, 次の埋蔵定理が知られている.

[Sobolev の埋蔵定理]

\(n \geq 2\), \(m \geq 1\), \(1 \leq p \leq \infty\) とする. このとき, 次の包含関係が成立する.

  1. \(1/p - m/n > 0\) のとき, \(1/q = 1/p - m/n\) を満たす実数 \(q\) に対して \(W^{m, p}(\Rbb^n) \subset L^q(\Rbb^n)\) が成立する.
  2. \(1/p - m/n = 0\) のとき, \(q \geq p\) を満たす任意の実数 \(q\) に対して \(W^{m, p}(\Rbb^n) \subset L^q(\Rbb^n)\) が成立する.
  3. \(1/p - m/n < 0\) のとき, \(W^{m, p}(\Rbb^n) \subset L^\infty(\Rbb^n)\) が成立する. さらに, \(p < \infty\) かつ \(m - n/p > 0\) が整数でないと仮定して, \(k := [m - n/p]\), \(\Gt := m - n/p - k\) とおくと, ある定数 \(C\) が存在して, 任意の \(u \in W^{m, p}(\Rbb^n)\) に対して \begin{align*} &\| D^\Ga u \|_{L^\infty(\Rbb^n)} \leq C \| u \|_{W^{m, p}(\Rbb^n)}, &&|\Ga| \leq k,\\ &|D^\Ga u(x) - D^\Ga u(y)| \leq C \| u \|_{W^{m, p}(\Rbb^n)} |x - y|^\Gt, &&|\Ga| = k, \quad x, y \in \Rbb^n \end{align*} が成立する. 特に, \(W^{m, p}(\Rbb^n) \subset C^k(\Rbb^n)\) である.

\(p = 1\), \(m = n\) の場合は例外的に \(W^{n, 1}(\Rbb^n) \subset L^\infty(\Rbb^n)\) が成立する. 実際, 任意の \(u \in C^\infty_0(\Rbb^n)\), \(x \in \Rbb^n\) に対して $$ |u(x)| = \left| \int_{-\infty}^{x_1} \cdots \int_{-\infty}^{x_n} \frac{\p^n u}{\p x_1 \cdots \p x_n}(t_1, \ldots, t_n)\,dt_1 \cdots dt_n \right| \leq \| u \|_{W^{n, 1}(\Rbb^n)} $$ が成立する. \(C^\infty_0(\Rbb^n)\) は \(W^{n, 1}(\Rbb^n)\) で稠密であるから, 任意の \(u \in W^{n, 1}(\Rbb^n)\) に対して $$ \| u \|_{L^\infty(\Rbb^n)} \leq \| u \|_{W^{n, 1}(\Rbb^n)} $$ が成立する.

定理1. は Brezis を参照した. \(p = \infty\) の場合についても定理は成立するようであるが, その証明は確認していない.

定理1. の証明は pdfバージョン を参照してください.

半空間または有界領域における Sobolev の埋蔵定理

\(\GO\) を半空間 \(\Rbb^n_+ := \{ x = (x_1, \ldots, x_n) \in \Rbb^n \mid x_n > 0\}\) または \(C^1\) 級の境界をもつ有界領域とする. このとき, 延長作用素 $$ P: W^{1, p}(\GO) \rightarrow W^{1, p}(\Rbb^n) $$ が有界線型作用素として定義できる. このことを利用すれば, 定理1. より次の定理が従う.

\(n \geq 2\), \(m \geq 1\), \(1 \leq p \leq \infty\) とする. このとき, 次の包含関係が成立する.

  1. \(1/p - m/n > 0\) のとき, \(1/q = 1/p - m/n\) を満たす実数 \(q\) に対して \(W^{m, p}(\GO) \subset L^q(\GO)\) が成立する.
  2. \(1/p - m/n = 0\) のとき, \(q \geq p\) を満たす任意の実数 \(q\) に対して \(W^{m, p}(\GO) \subset L^q(\GO)\) が成立する.
  3. \(1/p - m/n < 0\) のとき, \(W^{m, p}(\GO) \subset L^\infty(\GO)\) が成立する. さらに, \(p < \infty\) かつ \(m - n/p > 0\) が整数でないと仮定して, \(k := [m - n/p]\), \(\Gt := m - n/p - k\) とおくと, ある定数 \(C\) が存在して, 任意の \(u \in W^{m, p}(\GO)\) に対して \begin{align*} &\| D^\Ga u \|_{L^\infty(\GO)} \leq C \| u \|_{W^{m, p}(\GO)}, &&|\Ga| \leq k,\\ &|D^\Ga u(x) - D^\Ga u(y)| \leq C \| u \|_{W^{m, p}(\GO)} |x - y|^\Gt, &&|\Ga| = k, \quad x, y \in \GO \end{align*} が成立する. 特に, \(W^{m, p}(\GO) \subset C^k(\ol{\GO})\) である.

延長作用 \(P\) の存在を保証するため \(\GO\) の境界が \(C^1\) 級であることを仮定したが, この条件は緩めることができる. 詳しくは Adams, Fournier を参照すること.

参考文献

  1. R. Adams and J. Fournier, Sobolev Spaces, Academic Press, 2nd edition (2003).
  2. H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, New York, (2011).
  3. 黒田 成俊, 関数解析, 共立出版 (1980).
  4. 宮島 静雄, 関数解析, 横浜図書, 第2版 (2014).