$$ \newcommand{\pv}{\mbox{p.v.}} \newcommand{\nm}{\noalign{\smallskip}} %\newcommand{\qed}{ $\Box$} \newcommand{\ds}{\displaystyle} %\newcommand{\pf}{\noindent {\sl Proof}. \ } \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\pd}[2]{\frac {\p #1}{\p #2}} \newcommand{\eqnref}[1]{(\ref {#1})} \newcommand{\Abb}{\mathbb{A}} \newcommand{\Cbb}{\mathbb{C}} \newcommand{\Hbb}{\mathbb{H}} \newcommand{\Ibb}{\mathbb{I}} \newcommand{\Nbb}{\mathbb{N}} \newcommand{\Kbb}{\mathbb{K}} \newcommand{\Rbb}{\mathbb{R}} \newcommand{\Sbb}{\mathbb{S}} \renewcommand{\div}{\mbox{div}\,} \newcommand{\la}{\langle} \newcommand{\ra}{\rangle} \newcommand{\Acal}{\mathcal{A}} \newcommand{\Bcal}{\mathcal{B}} \newcommand{\Ccal}{\mathcal{C}} \newcommand{\Ecal}{\mathcal{E}} \newcommand{\Fcal}{\mathcal{F}} \newcommand{\Hcal}{\mathcal{H}} \newcommand{\Lcal}{\mathcal{L}} \newcommand{\Kcal}{\mathcal{K}} \newcommand{\Ncal}{\mathcal{N}} \newcommand{\Dcal}{\mathcal{D}} \newcommand{\Pcal}{\mathcal{P}} \newcommand{\Qcal}{\mathcal{Q}} \newcommand{\Rcal}{\mathcal{R}} \newcommand{\Scal}{\mathcal{S}} \newcommand{\Tcal}{\mathcal{T}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % define bold face %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\Ba{{\bf a}} \def\Bb{{\bf b}} \def\Bc{{\bf c}} \def\Bd{{\bf d}} \def\Be{{\bf e}} \def\Bf{{\bf f}} \def\Bg{{\bf g}} \def\Bh{{\bf h}} \def\Bi{{\bf i}} \def\Bj{{\bf j}} \def\Bk{{\bf k}} \def\Bl{{\bf l}} \def\Bm{{\bf m}} \def\Bn{{\bf n}} \def\Bo{{\bf o}} \def\Bp{{\bf p}} \def\Bq{{\bf q}} \def\Br{{\bf r}} \def\Bs{{\bf s}} \def\Bt{{\bf t}} \def\Bu{{\bf u}} \def\Bv{{\bf v}} \def\Bw{{\bf w}} \def\Bx{{\bf x}} \def\By{{\bf y}} \def\Bz{{\bf z}} \def\BA{{\bf A}} \def\BB{{\bf B}} \def\BC{{\bf C}} \def\BD{{\bf D}} \def\BE{{\bf E}} \def\BF{{\bf F}} \def\BG{{\bf G}} \def\BH{{\bf H}} \def\BI{{\bf I}} \def\BJ{{\bf J}} \def\BK{{\bf K}} \def\BL{{\bf L}} \def\BM{{\bf M}} \def\BN{{\bf N}} \def\BO{{\bf O}} \def\BP{{\bf P}} \def\BQ{{\bf Q}} \def\BR{{\bf R}} \def\BS{{\bf S}} \def\BT{{\bf T}} \def\BU{{\bf U}} \def\BV{{\bf V}} \def\BW{{\bf W}} \def\BX{{\bf X}} \def\BY{{\bf Y}} \def\BZ{{\bf Z}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Abbreviate definitions of greek symbols %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\Ga}{\alpha} \newcommand{\Gb}{\beta} \newcommand{\Gd}{\delta} \newcommand{\Ge}{\epsilon} \newcommand{\Gve}{\varepsilon} \newcommand{\Gf}{\Gvf} \newcommand{\Gvf}{\varphi} \newcommand{\Gg}{\gamma} \newcommand{\Gc}{\chi} \newcommand{\Gi}{\iota} \newcommand{\Gk}{\kappa} \newcommand{\Gvk}{\varkappa} \newcommand{\Gl}{\lambda} \newcommand{\Gn}{\eta} \newcommand{\Gm}{\mu} \newcommand{\Gv}{\nu} \newcommand{\Gp}{\pi} \newcommand{\Gt}{\theta} \newcommand{\Gvt}{\vartheta} \newcommand{\Gr}{\rho} \newcommand{\Gvr}{\varrho} \newcommand{\Gs}{\sigma} \newcommand{\Gvs}{\varsigma} \newcommand{\Gj}{\Phi^*} \newcommand{\Gu}{\upsilon} \newcommand{\Go}{\omega} \newcommand{\Gx}{\xi} \newcommand{\Gy}{\psi} \newcommand{\Gz}{\zeta} \newcommand{\GD}{\Delta} \newcommand{\GF}{\Phi} \newcommand{\GG}{\Gamma} \newcommand{\GL}{\Lambda} \newcommand{\GP}{\Pi} \newcommand{\GT}{\Theta} \newcommand{\GS}{\Sigma} \newcommand{\GU}{\Upsilon} \newcommand{\GO}{\Omega} \newcommand{\GX}{\Xi} \newcommand{\GY}{\Psi} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\BGG}{{\bf \GG}} \newcommand{\BGf}{\mbox{\boldmath $\Gf$}} \newcommand{\BGvf}{\mbox{\boldmath $\Gvf$}} \newcommand{\Bpsi}{\mbox{\boldmath $\Gy$}} \newcommand{\wBS}{\widetilde{\BS}} \newcommand{\wGl}{\widetilde{\Gl}} \newcommand{\wGm}{\widetilde{\Gm}} \newcommand{\wGv}{\widetilde{\Gv}} \newcommand{\wBU}{\widetilde{\BU}} %%%%%%%%%% \newcommand{\Jfrak}{\mathfrak{J}} %%%%%%%%%% \newcommand{\beq}{\begin{equation}} \newcommand{\eeq}{\end{equation}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\ol{\overline} \def\bs{\backslash} \def\wt{\widetilde} \newcommand{\hatna}{\widehat{\nabla}} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\divergence}{div} \DeclareMathOperator{\Real}{Re} \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} \DeclareMathOperator{\dist}{dist} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $$ 一般化 Tricomi 方程式の閉 Dirichlet 問題の超関数解および強解について

一般化 Tricomi 方程式の閉 Dirichlet 問題の超関数解および強解について

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次の境界値問題を考える. \[ Lu := K(y) u_{xx} + u_{yy} = f \quad \mbox{ in } \GO, \tag{1} \] \[ Bu = g \quad \mbox{ on } \p \GO. \tag{2} \] ただし, 係数 \(K\) は \(\Rbb\) 上の \(C^1\) 級関数で, \(K(0) = 0\) かつ \(y \neq 0\) で \(y K(y) > 0\) を満たす. また, \(f\), \(g\) は与えられた関数で, \(B\) は適当な trace operator である. 領域 \(\GO\) は \(\Rbb^2\) の有界領域とし, 境界 \(\p \GO\) は区分的に \(C^1\) 級であると仮定する. さらに, \(\Rbb_\pm := \{ (x, y) \in \Rbb^2 | \pm y > 0 \}\) とし, 領域 \(\GO\) は \(\GO_\pm := \GO \cap \Rbb_\pm \neq \emptyset\) であると仮定する.

方程式 (1) を Tricomi 型の方程式, Chaplygin 方程式, または Frankl' 方程式と呼ぶ. また, 条件 (2) を閉境界条件と呼ぶ. 閉境界条件に対して, 境界の(真)部分集合 \(\GG\) 上のみで与えられる境界条件のことを開境界条件と呼ぶ.

開境界値問題と比較して, 閉境界値問題 (1)-(2) はあまり研究が進んでおらず, 代表的な結果は2つしかない. 1つは Morawetz (1970) によるもので, \(K(y) = y\) (Tricomi 方程式) の場合の Dirichlet 問題の適切性が議論された. もう1つは Pilant (1985) によるもので, \(K(y) = \sgn(y)\) (Lavrent'ev--Bitsadze 方程式) の場合の Neumann 問題の適切性が議論された.

Dirichlet 問題の超関数解

閉境界値問題 (1)-(2) として, 次の Dirichlet 問題を考える. \[ \begin{cases} Lu := K(y) u_{xx} + u_{yy} = f &\mbox{ in } \GO,\\ Bu := u = 0 &\mbox{ on } \p \GO. \tag{3} \end{cases} \]

Sobolev 空間 \(H_0^1(\GO; K)\) を導入する. 重み付き Sobolev ノルム \(\| \cdot \|_{H^1(\GO; K)}\) を $$ \| u \|_{H^1(\GO; K)}^2 := \int_{\GO} \left( |K(y)| u_x(x, y)^2 + u_y(x, y)^2 + u(x, y)^2 \right)\,dxdy $$ で定義し, \(H_0^1(\GO; K)\) を \(\| \cdot \|_{H^1(\GO; K)}\) に関する \(C_0^\infty(\GO)\) の閉包として定義する.

このとき, \(H_0^1(\GO; K)\) おいて, Poincaré の不等式が成り立つ.

[Poincaré の不等式]

ある定数 \(C_P = C_P(\GO; K)\) が存在し, すべての \(u \in H_0^1(\GO; K)\) に対して $$ \| u \|_{L^2(\GO)}^2 \leq C_P \int_\GO \left( |K(y)| u_x(x, y)^2 + u_y(x, y)^2 \right)\,dxdy $$ が成り立つ.

実際には, より強い不等式が成り立つ. すなわち, ある定数 \(C = C(\GO)\) が存在して, $$ \| u \|_{L^2(\GO)}^2 \leq C \int_\GO u_y(x, y)^2\,dxdy $$ が成り立つ.

Poincaré の不等式から, $$ \| u \|_{H_0^1(\GO; K)}^2 := \int_{\GO} \left( |K(y)| u_x(x, y)^2 + u_y(x, y)^2 \right)\,dxdy $$ も Sobolev 空間 \(H_0^1(\GO; K)\) のノルムとなる.

\(H_0^1(\GO; K)\) の双対空間を \(H^{-1}(\GO; K)\) と書く. \(H^{-1}(\GO; K)\) のノルム \(\| \cdot \|_{H^{-1}(\GO; K)}\) を $$ \| w \|_{H^{-1}(\GO; K)} := \sup_{0 \neq \Gvf \in C_0^\infty(\GO)} \frac{\langle w, \Gvf \rangle}{\| \Gvf \|_{H_0^1(\GO; K)}} $$ で定義する. ただし, \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) は \(H^{-1}-H^1\) dual pair を表す.

上の定義から, 次の不等式が直ちに従う.

[一般化された Schwarz の不等式]

任意の \(w \in H^{-1}(\GO; K)\) と任意の \(\Gvf \in H_0^1(\GO; K)\) に対し, $$ |\langle w, \Gvf \rangle| \leq \| w \|_{H^{-1}(\GO; K)} \| \Gvf \|_{H^1(\GO; K)} $$ が成り立つ.

係数関数 \(K\) について, 次の条件を導入する.

関数 \(K \in C^1(\Rbb)\) が type change function であるとは, \(K\) が次の4つの条件を満たすことである.

  1. \(K(0) = 0\),
  2. \(y \neq 0\) で \(y K(y) > 0\),
  3. \(K'(y) > 0\),
  4. ある正の定数 \(\Gd\) が存在して \(1 + (2K / K')' \geq \Gd\).

\(K(y) = y\) のとき,

である. よって, \(K(y) = y\) は type change function である.

以上の設定の下, (1) の作用素 \(L\) を \(L: H_0^1(\GO; K) \rightarrow H^{-1}(\GO; K)\) とみなす. このとき, 次の補題が成り立つ.

\(\GO\) を区分的 \(C^1\) 級の境界をもつ \(\Rbb^2\) の有界領域とする. また, 関数 \(K\) は type change function とする. このとき, ある定数 \(C_1 = C_1(\GO; K)\) が存在して, 任意の \(C_0^2(\GO)\) に対して $$ \| u \|_{H_0^1(\GO; K)} \leq C_1 \| Lu \|_{L^2(\GO)} $$ が成り立つ.

\(u \in C_0^2(\GO)\) に対し, $$ Mu := a u + b u_x + c u_y $$ と定義する. ただし, \(a\), \(b\), \(c\) は適当な関数である.

ここで, 内積 $$ (Mu, Lu)_{L^2(\GO)} = \int_\GO (a u + b u_x + c u_y) (K u_{xx} + u_{yy})\,dxdy $$ を考える.

\(a, u \in C^1(\GO)\) に対し, $$ \int_\GO a u u_x\,dxdy = \frac{1}{2} \int_{\p \GO} a u^2 n_1\,ds - \frac{1}{2} \int_\GO a_x u^2\,dxdy $$ が成り立つことに注意すれば, \begin{align*} \int_\GO a u K u_{xx}\,dxdy =& \int_{\p \GO} a K u u_x n_1\,ds - \int_\GO a K u_x^2\,dxdy\\ &+ \frac{1}{2} \int_\GO a_{xx} K u^2\,dxdy - \frac{1}{2} \int_{\p \GO} a_x K u^2 n_1\,ds,\\ \int_\GO a u u_{yy}\,dxdy =& \int_{\p \GO} a u u_y n_2\,ds - \int_\GO a u_y^2\,dxdy\\ &+ \frac{1}{2} \int_\GO a_{yy} u^2\,dxdy - \frac{1}{2} \int_{\p \GO} a_y u^2 n_2\,ds,\\ \int_\GO b u_x K u_{xx}\,dxdy =& \frac{1}{2} \int_{\p \GO} b K u_x^2 n_1\,ds - \frac{1}{2} \int_{\GO} b_x K u_x^2\,dxdy,\\ \int_\GO b u_x u_{yy}\,dxdy =& \int_{\p \GO} b u_x u_y n_2\,ds - \int b_y u_x u_y\,dxdy\\ &+ \frac{1}{2} \int_\GO b_x u_y^2\,dxdy - \frac{1}{2} \int_{\p \GO} b u_y^2 n_1\,ds,\\ \int_\GO c u_y K u_{xx}\,dxdy =& \int_{\p \GO} c K u_y u_x n_1\,ds - \int c_x K u_x u_y\,dxdy\\ &+ \frac{1}{2} \int_\GO (cK)_y u_x^2\,dxdy - \frac{1}{2} \int_{\p \GO} c K u_x^2 n_2\,ds,\\ \int_\GO c u_y u_{yy}\,dxdy =& \frac{1}{2} \int_{\p \GO} c u_y^2 n_2\,ds - \frac{1}{2} \int_{\GO} c_y u_y^2\,dxdy \end{align*} が得られる. ただし, \(n = (n_1, n_2)\) は \(\p \GO\) の外向き単位法線ベクトルである. 以上をまとめて, \begin{align*} (Mu, Lu)_{L^2(\GO)} =& \frac{1}{2} \int_\GO \left(\Ga u_x^2 + 2\Gb u_x u_y + \Gg u_y^2 + (La) u^2 \right)\,dxdy\\ &+ \frac{1}{2} \int_{\p \GO} \left( 2 Mu (Ku_x, u_y) - (Ku_x^2 + u_y^2) (b, c) - u^2 (K a_x, a_y) \right) \cdot n \,ds,\\ \Ga :=& -2 a K - b_x K + (c K)_y, \Gb := - b_y - c_x K, \Gg := -2 a + b_x - c_y \end{align*} を得る.

ここで, \(a = -1\), \(b = 0\), \(c = \max \{0, -4K / K' \}\) とする. \(u \in C_0^2(\GO)\) であることに注意すると, \begin{align*} (Mu, Lu)_{L^2(\GO_+)} =& \int_{\GO_+} \left(K(y) u_x(x, y)^2 + u_y(x, y)^2 \right)\,dxdy\\ &+ \frac{1}{2} \int_{\p \GO_+ \cap \{ y = 0 \}} \left( 2 Mu (Ku_x, u_y) - (Ku_x^2 + u_y^2) (b, c) - u^2 (K a_x, a_y) \right) \cdot n \,ds,\\ (Mu, Lu)_{L^2(\GO_-)} =& \int_{\GO_-} \left( 1 + \left( \frac{2K}{K'} \right)' \right) \left(K(y) u_x(x, y)^2 + u_y(x, y)^2 \right)\,dxdy\\ &+ \frac{1}{2} \int_{\p \GO_- \cap \{ y = 0 \}} \left( 2 Mu (Ku_x, u_y) - (Ku_x^2 + u_y^2) (b, c) - u^2 (K a_x, a_y) \right) \cdot n \,ds \end{align*} である. \(K\) に対する仮定より, \(c\) は \(y = 0\) 上で連続であるから, 法線ベクトルの向きに注意して \begin{align*} &\frac{1}{2} \int_{\p \GO_- \cap \{ y = 0 \}} \left( 2 Mu (Ku_x, u_y) - (Ku_x^2 + u_y^2) (b, c) - u^2 (K a_x, a_y) \right) \cdot n \,ds\\ =& -\frac{1}{2} \int_{\p \GO_+ \cap \{ y = 0 \}} \left( 2 Mu (Ku_x, u_y) - (Ku_x^2 + u_y^2) (b, c) - u^2 (K a_x, a_y) \right) \cdot n \,ds \end{align*} が成り立つ. よって, \begin{align*} (Mu, Lu)_{L^2(\GO)} =& (Mu, Lu)_{L^2(\GO_+)} + (Mu, Lu)_{L^2(\GO_-)}\\ =& \int_{\GO_+} \left(K(y) u_x(x, y)^2 + u_y(x, y)^2 \right)\,dxdy\\ &+ \int_{\GO_-} \left( 1 + \left( \frac{2K}{K'} \right)' \right) \left(K(y) u_x(x, y)^2 + u_y(x, y)^2 \right)\,dxdy\\ \geq& \min \{ 1, \Gd \} \int_{\GO} \left( |K(y)| u_x(x, y)^2 + u_y(x, y)^2 \right)\,dxdy\\ =& \min \{ 1, \Gd \} \| u \|_{H_0^1(\GO; K)}^2 \end{align*} となる.

一方, Cauchy-Schwarz の不等式から, $$ |(Mu, Lu)_{L^2(\GO)}| \leq \| Mu \|_{L^2(\GO)} \| Lu \|_{L^2(\GO)} \leq C_K \| u \|_{H^1(\GO; K)} \| Lu \|_{L^2(\GO)}. $$ ただし, \(C_K := (2 \max \{ 1, \sup (4K / K')^2 \})^{1/2}\) である.

以上より, $$ \min \{ 1, \Gd \} \| u \|_{H_0^1(\GO; K)}^2 \leq C_K \| u \|_{H^1(\GO; K)} \| Lu \|_{L^2(\GO)} \leq C_K(1 + C_P) \| u \|_{H_0^1(\GO; K)} \| Lu \|_{L^2(\GO)}. $$ 辺々を整理して, 結論を得る.

\(\Box\)

補題1. を利用して, 次の定理を証明する.

\(\GO\) を区分的 \(C^1\) 級の境界を持つ \(\Rbb^2\) 上の有界領域とする. また, 関数 \(K\) を type change function とする. このとき, 各 \(f \in H^{-1}(\GO; K)\) に対して, 次を満たす関数 \(u \in L^2(\GO)\) が存在する. \(L \Gvf \in L^2(\GO)\) なる任意の \(\Gvf \in H_0^1(\GO; K)\) に対し, \[ (u, L\Gvf)_{L^2(\GO)} = \langle g, \Gvf \rangle \tag{4} \] が成り立つ.

方程式 (4) を満たす \(u \in L^2(\GO)\) を境界値問題 (3) の超関数解と呼ぶ.

[定理1. の証明]

\(f \in H^{-1}(\GO; K)\) とし, \(C_0^\infty(\GO)\) 上の線型汎関数 \(J_f\) を, 任意の \(\Gvf \in C_0^\infty(\GO)\) に対して $$ J_f(L \Gvf) := \langle f, \Gvf \rangle $$ で定義する. 一般化された Schwarz の不等式から, $$ |J_f(L \Gvf)| \leq \| f \|_{H^{-1}(\GO; K)} \| \Gvf \|_{H_0^1(\GO; K)} $$ が成り立つ. よって, 補題1. と合わせて, $$ |J_f(L \Gvf)| \leq C_1 \| f \|_{H^{-1}(\GO; K)} \| L \Gvf \|_{L^2(\GO)} $$ を得る. この評価から, \(J_f\) は \(V\) 上有界であることが分かる. ただし, $$ V := \{ u \in L^2(\GO) \mid \mbox{ある } \Gvf \mbox{ が存在して, } u = L \Gvf \} $$ である. Hahn-Banach の定理より, \(J_f\) は \(\ol{V} \subset L^2(\GO)\) まで拡張できる. さらに \(\ol{V}^\perp\) 上では \(0\) と定めることにより, \(J_f\) を \(L^2(\GO)\) 上の有界線型汎関数にまで拡張する.

ここで, Riesz の表現定理から, ある \(u \in L^2(\GO)\) が存在して, 任意の \(\GF \in L^2(\GO)\) に対して $$ (u, \GF)_{L^2(\GO)} = J_f(\GF) $$ が成り立つ. 特に, \(\GF \in V\) と取れば, ある \(\Gvf \in C_0^\infty(\GO)\) が存在して \(\GF = L \Gvf\) と書け, $$ (u, L \Gvf)_{L^2(\GO)} = J_f(L \Gvf) = \langle f, \Gvf \rangle $$ が成り立つ. \(C_0^\infty(\GO)\) が \(H_0^1(\GO; K)\) で稠密であることを用いて, 結論を得る.

\(\Box\)

Dirichlet 問題の強解

超関数解に対して, 強解を導入する.

\(u \in H_0^1(\GO)\) が境界値問題 (3) の強解であるとは, ある関数列 \(\{ u_n \} \subset C_0^2(\GO)\) が存在して, \(n \rightarrow \infty\) のとき, \begin{align*} &\| u_n - u \|_{H_0^1(\GO; K)} \rightarrow 0,\\ &\| L u_n - f \|_{L^2(\GO)} \rightarrow 0 \end{align*} となることである.

\(\GO\) を区分的 \(C^1\) 級の境界を持つ \(\Rbb^2\) 上の有界領域とする. また, 関数 \(K\) を type change function とする. このとき, 境界値問題 (3) の強解は存在すれば一意である.

境界値問題 (3) に対して, 2つの強解 \(u_1\), \(u_2\) が存在したと仮定する. 定義より, ある関数列 \(\{ u_i^{(n)} \} \subset C_0^2(\GO)\), \(i = 1, 2\) が存在して, \(n \rightarrow \infty\) のとき \begin{align*} &\| u_i^{(n)} - u \|_{H_0^1(\GO; K)} \rightarrow 0,\\ &\| L u_i^{(n)} - f \|_{L^2(\GO)} \rightarrow 0 \end{align*} が成り立つ.

これを踏まえて, $$ \| u_1 - u_2 \|_{H_0^1(\GO; K)} \leq \| u_1 - u_1^{(n)} \|_{H_0^1(\GO; K)} + \| u_1^{(n)} - u_2^{(n)} \|_{H_0^1(\GO; K)} + \| u_2 - u_2^{(n)} \|_{H_0^1(\GO; K)} $$ と分解する. 補題1. より, 右辺第2項は \begin{align*} \| u_1^{(n)} - u_2^{(n)} \|_{H_0^1(\GO; K)} \leq& C_1 \| L(u_1^{(n)} - u_2^{(n)}) \|_{L^2(\GO)}\\ \leq& C_1 ( \| L u_1^{(n)} - f \|_{L^2(\GO)} + \| L u_2^{(n)} - f \|_{L^2(\GO)} ) \end{align*} と評価される.

よって, \begin{align*} \| u_1 - u_2 \|_{H_0^1(\GO; K)} \leq& \| u_1 - u_1^{(n)} \|_{H_0^1(\GO; K)} + \| u_2 - u_2^{(n)} \|_{H_0^1(\GO; K)}\\ &+ C_1 ( \| L u_1^{(n)} - f \|_{L^2(\GO)} + \| L u_2^{(n)} - f \|_{L^2(\GO)} ) \end{align*} が成り立つ. 右辺は \(n \rightarrow \infty\) で \(0\) になるから, \(\| u_1 - u_2 \|_{H_0^1(\GO; K)} = 0\), すなわち \(u_1 = u_2\) を得る.

\(\Box\)

非斉次項 \(f\) が \(L^2(\GO)\) に属する場合でも, 一般には超関数解が強解になるとは限らない.

\(\GO\) を \(\Rbb^2\) の領域とし, \(\GO\) は原点 \(O\) を含んでいるとする. このとき, 次の関数を考える. $$ u(x, y) = \Gy(x, y) E(x, y) = \begin{cases} C_- |9 x^2 + 4 y^3|^{5/6}, &(x, y) \in \GO \cap D_-(0),\\ 0, &(x, y) \in \GO \backslash D_-(0). \end{cases} $$ ただし, \begin{align*} \Gy(x, y) :=& 9 x^2 + 4 y^3,\\ D_-(0) :=& \{ (x, y) \in \Rbb^2 \mid 9 x^2 + 4 y^3 < 0 \},\\ C_- :=& \frac{3 \GG(4/3)}{2^{2/3} \pi^{1/2} \GG(5/6)} \end{align*} である.

関数 \(f\) を $$ f(x, y) := -12 y E \left( \frac{7}{2}E + 3x E_x + 2y E_y \right) $$ で定める. このとき, 上で定義した関数 \(u\) は方程式 \(Tu := y u_{xx} + u_{yy} = f\) の超関数解となる.

しかしながら, \(f\) は \(L^2(\GO)\) に属さず, さらに \(u\) は \(\p \GO \cap D_-(0)\) 上で \(0\) にならないため, \(u\) は強解にならない.

また, \(T v = 0\) を満たす任意の滑らかな関数を1つ持ってくれば, \(u + v\) もまた超関数解になることが分かる. このことから, 一般に超関数解は一意でない.

参考文献

  1. D. Lupo, C. S. Morawetz and K. R. Payne, On closed boundary value problems for equations of mixed elliptic-hyperbolic type, Comm. Pure Appl. Math., 60, (2007), pp.1319-1348.
  2. C. S. Morawetz, The Dirichlet problem for the Tricomi equation, Comm. Pure Appl. Math., 23, (1970), pp.587-601.
  3. M. Pilant, The Neumann problem for an equation of Lavrent'ev-Bitsadze type, J. Math. Anal. Appl., 106(2), (1985), pp.321-359.