Tricomi 問題に対する最大値原理と一意性定理

$$ \newcommand{\pv}{\mbox{p.v.}} \newcommand{\nm}{\noalign{\smallskip}} %\newcommand{\qed}{ $\Box$} \newcommand{\ds}{\displaystyle} %\newcommand{\pf}{\noindent {\sl Proof}. \ } \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\pd}[2]{\frac {\p #1}{\p #2}} \newcommand{\eqnref}[1]{(\ref {#1})} \newcommand{\Abb}{\mathbb{A}} \newcommand{\Cbb}{\mathbb{C}} \newcommand{\Hbb}{\mathbb{H}} \newcommand{\Ibb}{\mathbb{I}} \newcommand{\Nbb}{\mathbb{N}} \newcommand{\Kbb}{\mathbb{K}} \newcommand{\Rbb}{\mathbb{R}} \newcommand{\Sbb}{\mathbb{S}} \renewcommand{\div}{\mbox{div}\,} \newcommand{\la}{\langle} \newcommand{\ra}{\rangle} \newcommand{\Acal}{\mathcal{A}} \newcommand{\Bcal}{\mathcal{B}} \newcommand{\Ccal}{\mathcal{C}} \newcommand{\Ecal}{\mathcal{E}} \newcommand{\Fcal}{\mathcal{F}} \newcommand{\Hcal}{\mathcal{H}} \newcommand{\Lcal}{\mathcal{L}} \newcommand{\Kcal}{\mathcal{K}} \newcommand{\Ncal}{\mathcal{N}} \newcommand{\Dcal}{\mathcal{D}} \newcommand{\Pcal}{\mathcal{P}} \newcommand{\Qcal}{\mathcal{Q}} \newcommand{\Rcal}{\mathcal{R}} \newcommand{\Scal}{\mathcal{S}} \newcommand{\Tcal}{\mathcal{T}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % define bold face %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\Ba{{\bf a}} \def\Bb{{\bf b}} \def\Bc{{\bf c}} \def\Bd{{\bf d}} \def\Be{{\bf e}} \def\Bf{{\bf f}} \def\Bg{{\bf g}} \def\Bh{{\bf h}} \def\Bi{{\bf i}} \def\Bj{{\bf j}} \def\Bk{{\bf k}} \def\Bl{{\bf l}} \def\Bm{{\bf m}} \def\Bn{{\bf n}} \def\Bo{{\bf o}} \def\Bp{{\bf p}} \def\Bq{{\bf q}} \def\Br{{\bf r}} \def\Bs{{\bf s}} \def\Bt{{\bf t}} \def\Bu{{\bf u}} \def\Bv{{\bf v}} \def\Bw{{\bf w}} \def\Bx{{\bf x}} \def\By{{\bf y}} \def\Bz{{\bf z}} \def\BA{{\bf A}} \def\BB{{\bf B}} \def\BC{{\bf C}} \def\BD{{\bf D}} \def\BE{{\bf E}} \def\BF{{\bf F}} \def\BG{{\bf G}} \def\BH{{\bf H}} \def\BI{{\bf I}} \def\BJ{{\bf J}} \def\BK{{\bf K}} \def\BL{{\bf L}} \def\BM{{\bf M}} \def\BN{{\bf N}} \def\BO{{\bf O}} \def\BP{{\bf P}} \def\BQ{{\bf Q}} \def\BR{{\bf R}} \def\BS{{\bf S}} \def\BT{{\bf T}} \def\BU{{\bf U}} \def\BV{{\bf V}} \def\BW{{\bf W}} \def\BX{{\bf X}} \def\BY{{\bf Y}} \def\BZ{{\bf Z}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Abbreviate definitions of greek symbols %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\Ga}{\alpha} \newcommand{\Gb}{\beta} \newcommand{\Gd}{\delta} \newcommand{\Ge}{\epsilon} \newcommand{\Gve}{\varepsilon} \newcommand{\Gf}{\Gvf} \newcommand{\Gvf}{\varphi} \newcommand{\Gg}{\gamma} \newcommand{\Gc}{\chi} \newcommand{\Gi}{\iota} \newcommand{\Gk}{\kappa} \newcommand{\Gvk}{\varkappa} \newcommand{\Gl}{\lambda} \newcommand{\Gn}{\eta} \newcommand{\Gm}{\mu} \newcommand{\Gv}{\nu} \newcommand{\Gp}{\pi} \newcommand{\Gt}{\theta} \newcommand{\Gvt}{\vartheta} \newcommand{\Gr}{\rho} \newcommand{\Gvr}{\varrho} \newcommand{\Gs}{\sigma} \newcommand{\Gvs}{\varsigma} \newcommand{\Gj}{\Phi^*} \newcommand{\Gu}{\upsilon} \newcommand{\Go}{\omega} \newcommand{\Gx}{\xi} \newcommand{\Gy}{\psi} \newcommand{\Gz}{\zeta} \newcommand{\GD}{\Delta} \newcommand{\GF}{\Phi} \newcommand{\GG}{\Gamma} \newcommand{\GL}{\Lambda} \newcommand{\GP}{\Pi} \newcommand{\GT}{\Theta} \newcommand{\GS}{\Sigma} \newcommand{\GU}{\Upsilon} \newcommand{\GO}{\Omega} \newcommand{\GX}{\Xi} \newcommand{\GY}{\Psi} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\BGG}{{\bf \GG}} \newcommand{\BGf}{\mbox{\boldmath $\Gf$}} \newcommand{\BGvf}{\mbox{\boldmath $\Gvf$}} \newcommand{\Bpsi}{\mbox{\boldmath $\Gy$}} \newcommand{\wBS}{\widetilde{\BS}} \newcommand{\wGl}{\widetilde{\Gl}} \newcommand{\wGm}{\widetilde{\Gm}} \newcommand{\wGv}{\widetilde{\Gv}} \newcommand{\wBU}{\widetilde{\BU}} %%%%%%%%%% \newcommand{\Jfrak}{\mathfrak{J}} %%%%%%%%%% \newcommand{\beq}{\begin{equation}} \newcommand{\eeq}{\end{equation}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\ol{\overline} \def\bs{\backslash} \def\wt{\widetilde} \newcommand{\hatna}{\widehat{\nabla}} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\divergence}{div} \DeclareMathOperator{\Real}{Re} \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} \DeclareMathOperator{\dist}{dist} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $$ Tricomi 問題に対する最大値原理と一意性定理

Tricomi 問題に対する最大値原理と一意性定理

pdfバージョンはこちらから元のページに戻る

一般化 Tricomi 方程式 \[ L[U] := K(y) U_{xx} + U_{yy} = 0 \tag{1} \] を満たす関数 $U$ に対する最大値原理と, それに付随する解の一意性について議論する. ただし, 係数 $K(y)$ は \[ \sgn K(y) = \sgn y, \quad K'(y) > 0 \tag{2} \] を満たすとする.

(一般化) Tricomi 方程式を考える領域の双曲部の境界が方程式の2つの特性曲線からなり, 片側の特性曲線上に Dirichlet 境界条件を与える問題を Tricomi 問題という. Tricomi 問題については, 次の最大値原理が成り立つ.

$\GO$ を $\Rbb^2$ の領域で, 直線 $y = 0$ と共通部分を持ち, $y > 0$ では有界, $y < 0$ では境界が特性曲線と一致するとする. 今, $\p \GO$ と $y = 0$ の交点を左から $A$, $B$ とし, 2点 $A$, $B$ を始点とする特性曲線の交点を $C$ とする. このとき, $\GO$ 内で $L[U] \geq 0$ ならば, 次が成り立つ.
「定数 $M$ に対して $\p \GO \cap \{ y \geq 0\}$ 上で $U \leq M$ かつ曲線 $AC$ 上で $U = 0$ ならば, $\GO$ 内で $U < M$ が成り立つ.」

定理1. を証明するため, 補題を用意する.

[Hopf の補題]

$D_0$ を $\Rbb^2 \cap \{ y > 0 \}$ 内の開円板とし, $U \in C^2(D_0) \cap C^1(\ol{D_0})$ とする. $U$ が境界 $\p D_0$ 上の点 $(x_0, y_0)$ で最大値 $M$ を取るとする. このとき, $D_0$ 内で $L[U] \geq 0$ であれば, $$ \frac{\p U}{\p n}(x_0, y_0) < 0 $$ である. ただし, $n$ は $\p D_0$ の内向き単位法線ベクトルである.

関数 $U$ が $(x_0, y_0)$ 以外の境界上の点で最大値 $M$ を取る場合は, 点 $(x_0, y_0)$ で $D_0$ に内接する開円板を取り直すことで, 関数 $U$ は境界上では点 $(x_0, y_0)$ でのみ最大値を取ると仮定して良い. また, 同様の操作により, 点 $(x_0, y_0)$ が直線 $y = 0$ 上に無い場合は, $\p D_0$ は $y = 0$ と交点を持たないと仮定して良い. 円板の中心を $(x_1, y_1)$, 半径を $r_1$ とする. また, 中心が $(x_0, y_0)$, 半径が $r_2 (< r_1)$ の開円板を $D_1$ とする. さらに, $D := D_0 \cap D_1$ とする.

ここで, 関数 $H$ を $$ H(x, y) := e^{-a r^2} - e^{-a r_1^2}, \quad r^2 = (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 $$ で定義する. ただし, $a$ は正の定数である. 関数 $H$ は $\p D \cap \p D_0$ 上で $H = 0$, $\p D \cap \p D_1$ 上で $0 \leq H \leq 1$ を満たす. さらに, $$ e^{a r^2} L[H] = 4a^2 \left( (y - y_1)^2 + K(y)(x - x_1)^2 \right) - 2a(1 + K(y)) $$ である.

$D_0$, $D_1$ の定義より, ある正の定数 $\Gd$ が存在して, $D$ 内では $r^2 > \Gd^2 > 0$ となる. さらに, $y_0 > 0$ の場合は, ある正の定数 $\Gd_1$, $\Gd_2$ が存在して, $D$ 内では $\Gd_1 < y < \Gd_2$ となる. このとき, 定数 $a$ を $$ 2a \Gd^2 \min \{ 1, K(\Gd_1) \} > 1 + K(\Gd_2) $$ が成り立つように取れば, $L[H] > 0$ とできる. $y_0 = 0$ の場合は, $D$ 内で $y_1 - y > \Gd$ であるから, 定数 $a$ を $$ 2a \Gd^2 > 1 + K(\Gd_2) $$ が成り立つように取れば, $L[H] > 0$ となる.

先述のとおり十分大きな定数 $a$ を取り, 関数 $$ w := U + \Ge H $$ を導入する. 十分小さな正の定数 $\Ge$ に対しては $(x_0, y_0)$ を除く $\p D$ 上の各点で $w < M$ となる. $D$ 内で $L[w] > 0$ であるので, 関数$w$は $\ol{D}$ の内点では最大値を取れない. したがって, $\ol{D}$ 上で $w \leq M$ であり, 等号は点 $(x_0, y_0)$ 上に限る. 特に, $w$ は点 $(x_0, y_0)$ から内側へ向かっては増加できないので, $$ \frac{\p w}{\p n}(x_0, y_0) \leq 0 $$ である. $$ \frac{\p H}{\p n}(x_0, y_0) = 2 a r_1 e^{-a r_1^2} > 0 $$ であるから, $$ \frac{\p U}{\p n}(x_0, y_0) = \frac{\p w}{\p n}(x_0, y_0) - \Ge \frac{\p H}{\p n}(x_0, y_0) < 0 $$ となり, 結論を得る.

$\Box$

$\GO^+$ を $\Rbb^2 \cap \{ y > 0 \}$ の領域とする. 関数 $U$ が $\GO^+$ 内で $L[U] \geq 0$ を満たすならば, $U$ は $\GO^+$ 上定数であるか, $\ol{\GO^+}$ 上での最大値を境界 $\p \GO^+$ 上でのみ達成する. さらに, 関数 $U$ が最大値を達成する点 $(x_0, y_0) \in \p \GO^+$ の近傍で $\p \GO^+$ が滑らかであれば, $$ \frac{\p U}{\p n}(x_0, y_0) < 0 $$ である.

関数 $U$ が $\ol{\GO^+}$ の内点 $P$ で最大値 $M$ を達成し, 内点 $Q$ では $U(Q) < M$ となると仮定する. $U$ の連続性から, ある点 $P'$ が線分 $PQ$ 上に存在して, $U(P') = M$, 線分 $P'Q$ 上の任意の点 $R$ に対して $U(R) < M$ が成り立つ.

$d := \dist(\p \GO^+, P'Q)$ とし, 線分 $P'Q$ 上の点 $P_0$ を $|P_0 P'| < d/2$ となるようにとる. この点 $P_0$ を中心とする円板 $D$ で, $\GO^+$ に含まれ, かつ $D$ 内で $U < M$ が成り立つもののうち, 半径が最大のものを $D_0$ とする. 定義より, 関数 $U$ は $\p D_0$ 上の少なくとも一点 $(x_0, y_0)$ 上で最大値 $M$ をとる. しかし, $$ \frac{\p U}{\p n}(x_0, y_0) = 0 $$ となるため, 補題1. に矛盾する. したがって, $U$ は $\GO^+$ 上定数であるか, $\ol{\GO^+}$ 上での最大値を境界 $\p \GO^+$ 上でのみ達成する.

今, 関数 $U$ が $\p \GO^+$ 上の点 $P_1$ で最大値を取ったとする. 点 $P_1$ で $\p \GO^+$ に内接する開円板 $D_1$ を考え, $D_1$ に対して補題1. を適用することにより, $$ \frac{\p U}{\p n}(P_1) < 0 $$ を得る.

$\Box$

[Agmon, Nirenberg and Protter]

点 $A$, $B$, $C$ を定理1. のように取り, 線分 $AB$, 特性曲線 $AC$, $BC$ で囲われた領域を $\triangle ABC$ と表す. 今, 関数 $U$ が $\triangle ABC$ 内で $L[U] = 0$ であり, 曲線 $AC$ 上で $U = 0$ とする. このとき, 係数 $K(y)$ が \[ \frac{K''(y)}{K(y)} - \frac{5}{4} \left( \frac{K'(y)}{K(y)} \right)^2 < 0 \tag{3} \] を満たすならば, $\triangle ABC$ で $$ U < \max_{x \in AB} U(x, 0) $$ が成り立つ.

方程式 (1) に対する特性曲線の方程式は $$ \begin{cases} \Ga := x - \int_0^y \sqrt{-K(y')}\,dy',\\ \Gb := x + \int_0^y \sqrt{-K(y')}\,dy' \end{cases} $$ である. このとき, 方程式 (1) は変数 $\Ga$, $\Gb$ を用いて \[ h U_{\Ga \Gb} + h_\Ga U_\Gb + h_\Gb U_\Ga = 0, \quad h = (-K(y))^{1/4} \tag{4} \] と書ける.

点 $P_1(\Ga_1, \Gb_1)$ を曲線 $AC$ 上の点とし, $\triangle ABC$ の内部または曲線 $BC$ 上に点 $P(\Ga_1, \Gb)$ を取る. 方程式 (4) を線分 $P P_1$ に沿って積分することで, $$ [h U_\Ga]_P^{P_1} + \int_P^{P_1} h_\Ga U_\Gb \,d\Gb = 0 $$ を得る. 仮定より $U(P_1) = U_\Ga(P_1) = 0$ であることに注意して上式に部分積分を施すと, $$ -h(P) U_\Ga(P) - [h_\Ga(U(P) - U)]_P^{P_1} + \int_P^{P_1} h_{\Ga \Gb} (U(P) - U)\,d\Gb = 0, $$ 即ち, \[ \label{Ua} h(P) U_\Ga(P) = -h_\Ga(P_1) U(P) + \int_P^{P_1} h_{\Ga \Gb} (U(P) - U)\,d\Gb \tag{5} \] となる.

等式 (5) の両辺の符号について議論する. $$ \int_0^y \sqrt{-K(y')}\,dy'= \frac{\Gb - \Ga}{2} $$ であるから, \[ y_\Ga = -\frac{1}{2\sqrt{-K(y)}} = -\frac{1}{2} h^{-2},\quad h_\Ga = h' y_\Ga = \frac{1}{8} K'(y) (-K(y))^{-5/4} > 0. \tag{6} \] 同様に, $$ y_\Gb = \frac{1}{2\sqrt{-K(y)}} = \frac{1}{2} h^{-2} $$ であるから, $$ h_{\Ga \Gb} = \frac{\p}{\p y} (h_\Ga) y_\Gb = -\frac{1}{16} (-K(y))^{-3/4} \left\{ \frac{K''(y)}{K(y)} - \frac{5}{4} \left(\frac{K'(y)}{K(y)} \right)^2 \right\}. $$ (3) より, $h_{\Ga \Gb} > 0$ である.

等式 (5) において, 関数 $U$ が点 $P$ で最大値をとると仮定する. $AC$ 上で $U = 0$ であるから, $U(P) > 0$ としてよい. このとき, (6) より右辺第1項は負であり. また, $h_{\Ga \Gb} > 0$ より右辺第2項の被積分関数は正となるが, $\Gb_1 < \Gb$ より積分値は負となる. したがって, (5) の右辺は負である. これより $U_\Ga(P) < 0$ となるが, これは $U$ が $P$ で最大値をとることに矛盾する. 以上により, 結論を得る.

$\Box$

以上の準備下で, 定理1. を証明する.

[定理1. の証明]

$M$ を $\p \GO \cap \{ y \geq 0 \}$ における $U$ の最大値, $M' := \max_{x \in AB} U(x, 0)$ とする. 補題2. より, $\GO^+ := \GO \cap \{ y > 0 \}$ において $U < \max(M, M')$ となる. また, 補題3. より, 領域 $\triangle ABC := \GO \cap \{ y < 0 \}$ では $U < M'$ が成立する. 以上から, $M' \leq M$ が成立することを証明すれば良い.

そこで, $M' > M$ と仮定する. このとき, $U$ は点 $(x_0, 0)$ で最大値を取ることになる. ところが, これは補題1. による $$ \frac{\p U}{\p y}(x_0, 0) \neq 0 $$ と矛盾する. したがって, 結論を得る.

$\Box$

定理1. において $M = 0$ ならば, $U \leq 0$ である. 同様に, 定理1. を $-U$ に適用すれば, $U \geq 0$ となる. これらを合わせて, 次の命題を得る.

[Tricomi 問題の(古典)解の一意性]

$\GO$ を $\Rbb^2$ の領域で, 直線 $y = 0$ と共通部分を持ち, $y > 0$ では有界, $y < 0$ では境界が特性曲線と一致するとする. 今, $\p \GO$ と $y = 0$ の交点を左から $A$, $B$ とし, 2点 $A$, $B$ を始点とする特性曲線の交点を $C$ とする. また, $f$ を　$\p \GO \cap \{ y \geq 0$ 上の連続関数, $g$ を曲線 $AC$ 上の連続関数とする. このとき, $\GO$ 内で $L[U] = 0$, $\p \GO \cap \{ y \geq 0\}$ 上で $U = f$ かつ曲線 $AC$ 上で $U = g$ を満たす関数 $U \in C^2(\GO) \cap C^0(\ol{\GO})$ は, 存在すれば一意である.

参考文献

S. Agmon, L. Nirenberg and M. H. Protter, A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic-hyperbolic type, Comm. Pure Appl. Math., 6, (1953), pp.455-470.
A. R. Manwell, The Tricomi equation with applications to the theory of plane transonic flow, Research Notes in Mathematics, No 35, Pitman Advanced Publishing Program, San Francisco, London, Melbourne (1979).