$$ \newcommand{\pv}{\mbox{p.v.}} \newcommand{\nm}{\noalign{\smallskip}} %\newcommand{\qed}{ $\Box$} \newcommand{\ds}{\displaystyle} %\newcommand{\pf}{\noindent {\sl Proof}. \ } \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\pd}[2]{\frac {\p #1}{\p #2}} \newcommand{\eqnref}[1]{(\ref {#1})} \newcommand{\Abb}{\mathbb{A}} \newcommand{\Cbb}{\mathbb{C}} \newcommand{\Hbb}{\mathbb{H}} \newcommand{\Ibb}{\mathbb{I}} \newcommand{\Nbb}{\mathbb{N}} \newcommand{\Kbb}{\mathbb{K}} \newcommand{\Rbb}{\mathbb{R}} \newcommand{\Sbb}{\mathbb{S}} \renewcommand{\div}{\mbox{div}\,} \newcommand{\la}{\langle} \newcommand{\ra}{\rangle} \newcommand{\Acal}{\mathcal{A}} \newcommand{\Bcal}{\mathcal{B}} \newcommand{\Ccal}{\mathcal{C}} \newcommand{\Ecal}{\mathcal{E}} \newcommand{\Fcal}{\mathcal{F}} \newcommand{\Hcal}{\mathcal{H}} \newcommand{\Lcal}{\mathcal{L}} \newcommand{\Kcal}{\mathcal{K}} \newcommand{\Ncal}{\mathcal{N}} \newcommand{\Dcal}{\mathcal{D}} \newcommand{\Pcal}{\mathcal{P}} \newcommand{\Qcal}{\mathcal{Q}} \newcommand{\Rcal}{\mathcal{R}} \newcommand{\Scal}{\mathcal{S}} \newcommand{\Tcal}{\mathcal{T}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % define bold face %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\Ba{{\bf a}} \def\Bb{{\bf b}} \def\Bc{{\bf c}} \def\Bd{{\bf d}} \def\Be{{\bf e}} \def\Bf{{\bf f}} \def\Bg{{\bf g}} \def\Bh{{\bf h}} \def\Bi{{\bf i}} \def\Bj{{\bf j}} \def\Bk{{\bf k}} \def\Bl{{\bf l}} \def\Bm{{\bf m}} \def\Bn{{\bf n}} \def\Bo{{\bf o}} \def\Bp{{\bf p}} \def\Bq{{\bf q}} \def\Br{{\bf r}} \def\Bs{{\bf s}} \def\Bt{{\bf t}} \def\Bu{{\bf u}} \def\Bv{{\bf v}} \def\Bw{{\bf w}} \def\Bx{{\bf x}} \def\By{{\bf y}} \def\Bz{{\bf z}} \def\BA{{\bf A}} \def\BB{{\bf B}} \def\BC{{\bf C}} \def\BD{{\bf D}} \def\BE{{\bf E}} \def\BF{{\bf F}} \def\BG{{\bf G}} \def\BH{{\bf H}} \def\BI{{\bf I}} \def\BJ{{\bf J}} \def\BK{{\bf K}} \def\BL{{\bf L}} \def\BM{{\bf M}} \def\BN{{\bf N}} \def\BO{{\bf O}} \def\BP{{\bf P}} \def\BQ{{\bf Q}} \def\BR{{\bf R}} \def\BS{{\bf S}} \def\BT{{\bf T}} \def\BU{{\bf U}} \def\BV{{\bf V}} \def\BW{{\bf W}} \def\BX{{\bf X}} \def\BY{{\bf Y}} \def\BZ{{\bf Z}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Abbreviate definitions of greek symbols %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\Ga}{\alpha} \newcommand{\Gb}{\beta} \newcommand{\Gd}{\delta} \newcommand{\Ge}{\epsilon} \newcommand{\Gve}{\varepsilon} \newcommand{\Gf}{\Gvf} \newcommand{\Gvf}{\varphi} \newcommand{\Gg}{\gamma} \newcommand{\Gc}{\chi} \newcommand{\Gi}{\iota} \newcommand{\Gk}{\kappa} \newcommand{\Gvk}{\varkappa} \newcommand{\Gl}{\lambda} \newcommand{\Gn}{\eta} \newcommand{\Gm}{\mu} \newcommand{\Gv}{\nu} \newcommand{\Gp}{\pi} \newcommand{\Gt}{\theta} \newcommand{\Gvt}{\vartheta} \newcommand{\Gr}{\rho} \newcommand{\Gvr}{\varrho} \newcommand{\Gs}{\sigma} \newcommand{\Gvs}{\varsigma} \newcommand{\Gj}{\Phi^*} \newcommand{\Gu}{\upsilon} \newcommand{\Go}{\omega} \newcommand{\Gx}{\xi} \newcommand{\Gy}{\psi} \newcommand{\Gz}{\zeta} \newcommand{\GD}{\Delta} \newcommand{\GF}{\Phi} \newcommand{\GG}{\Gamma} \newcommand{\GL}{\Lambda} \newcommand{\GP}{\Pi} \newcommand{\GT}{\Theta} \newcommand{\GS}{\Sigma} \newcommand{\GU}{\Upsilon} \newcommand{\GO}{\Omega} \newcommand{\GX}{\Xi} \newcommand{\GY}{\Psi} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\BGG}{{\bf \GG}} \newcommand{\BGf}{\mbox{\boldmath $\Gf$}} \newcommand{\BGvf}{\mbox{\boldmath $\Gvf$}} \newcommand{\Bpsi}{\mbox{\boldmath $\Gy$}} \newcommand{\wBS}{\widetilde{\BS}} \newcommand{\wGl}{\widetilde{\Gl}} \newcommand{\wGm}{\widetilde{\Gm}} \newcommand{\wGv}{\widetilde{\Gv}} \newcommand{\wBU}{\widetilde{\BU}} %%%%%%%%%% \newcommand{\Jfrak}{\mathfrak{J}} %%%%%%%%%% \newcommand{\beq}{\begin{equation}} \newcommand{\eeq}{\end{equation}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\ol{\overline} \def\bs{\backslash} \def\wt{\widetilde} \newcommand{\hatna}{\widehat{\nabla}} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\divergence}{div} \DeclareMathOperator{\Real}{Re} \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} \DeclareMathOperator{\dist}{dist} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $$ 一般化 Tricomi 方程式の閉 Dirichlet 問題の弱解について

一般化 Tricomi 方程式の閉 Dirichlet 問題の弱解について

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次の境界値問題を考える. \[ Lu := K(y) u_{xx} + u_{yy} = f \quad \mbox{ in } \GO, \tag{1} \] \[ Bu = g \quad \mbox{ on } \p \GO. \tag{2} \] ただし, 係数 \(K\) は \(\Rbb\) 上の \(C^1\) 級関数で, \(K(0) = 0\) かつ \(y \neq 0\) で \(y K(y) > 0\) を満たす. また, \(f\), \(g\) は与えられた関数で, \(B\) は適当な trace operator である. 領域 \(\GO\) は \(\Rbb^2\) の有界領域とし, 境界 \(\p \GO\) は区分的に \(C^1\) 級であると仮定する. さらに, \(\Rbb_\pm := \{ (x, y) \in \Rbb^2 | \pm y > 0 \}\) とし, 領域 \(\GO\) は \(\GO_\pm := \GO \cap \Rbb_\pm \neq \emptyset\) であると仮定する.

方程式 (1) を Tricomi 型の方程式, Chaplygin 方程式, または Frankl' 方程式と呼ぶ. また, 条件 (2) を閉境界条件と呼ぶ. 閉境界条件に対して, 境界の(真)部分集合 \(\GG\) 上のみで与えられる境界条件のことを開境界条件と呼ぶ.

開境界値問題と比較して, 閉境界値問題 (1)-(2) はあまり研究が進んでおらず, 代表的な結果は2つしかない. 1つは Morawetz (1970) によるもので, \(K(y) = y\) (Tricomi 方程式) の場合の Dirichlet 問題の適切性が議論された. もう1つは Pilant (1985) によるもので, \(K(y) = \sgn(y)\) (Lavrent'ev--Bitsadze 方程式) の場合の Neumann 問題の適切性が議論された.

Dirichlet 問題の弱解

閉境界値問題 (1)-(2) として, 次の Dirichlet 問題を考える. \[ \begin{cases} Lu := K(y) u_{xx} + u_{yy} = f &\mbox{ in } \GO,\\ Bu := u = 0 &\mbox{ on } \p \GO. \tag{3} \end{cases} \]

Sobolev 空間 \(H_0^1(\GO; K)\) を導入する. 重み付き Sobolev ノルム \(\| \cdot \|_{H^1(\GO; K)}\) を $$ \| u \|_{H^1(\GO; K)}^2 := \int_{\GO} \left( |K(y)| u_x(x, y)^2 + u_y(x, y)^2 + u(x, y)^2 \right)\,dxdy $$ で定義し, \(H_0^1(\GO; K)\) を \(\| \cdot \|_{H^1(\GO; K)}\) に関する \(C_0^\infty(\GO)\) の閉包として定義する.

このとき, \(H_0^1(\GO; K)\) おいて, Poincaré の不等式が成り立つ.

[Poincaré の不等式]

ある定数 \(C_P = C_P(\GO; K)\) が存在し, すべての \(u \in H_0^1(\GO; K)\) に対して $$ \| u \|_{L^2(\GO)}^2 \leq C_P \int_\GO \left( |K(y)| u_x(x, y)^2 + u_y(x, y)^2 \right)\,dxdy $$ が成り立つ.

実際には, より強い不等式が成り立つ. すなわち, ある定数 \(C = C(\GO)\) が存在して, $$ \| u \|_{L^2(\GO)}^2 \leq C \int_\GO u_y(x, y)^2\,dxdy $$ が成り立つ.

Poincaré の不等式から, $$ \| u \|_{H_0^1(\GO; K)}^2 := \int_{\GO} \left( |K(y)| u_x(x, y)^2 + u_y(x, y)^2 \right)\,dxdy $$ も Sobolev 空間 \(H_0^1(\GO; K)\) のノルムとなる.

\(H_0^1(\GO; K)\) の双対空間を \(H^{-1}(\GO; K)\) と書く. \(H^{-1}(\GO; K)\) のノルム \(\| \cdot \|_{H^{-1}(\GO; K)}\) を $$ \| w \|_{H^{-1}(\GO; K)} := \sup_{0 \neq \Gvf \in C_0^\infty(\GO)} \frac{\langle w, \Gvf \rangle}{\| \Gvf \|_{H_0^1(\GO; K)}} $$ で定義する. ただし, \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) は \(H^{-1}-H^1\) dual pair を表す.

上の定義から, 次の不等式が直ちに従う.

[一般化された Schwarz の不等式]

任意の \(w \in H^{-1}(\GO; K)\) と任意の \(\Gvf \in H_0^1(\GO; K)\) に対し, $$ |\langle w, \Gvf \rangle| \leq \| w \|_{H^{-1}(\GO; K)} \| \Gvf \|_{H^1(\GO; K)} $$ が成り立つ.

係数関数 \(K\) について, 次の条件を導入する.

関数 \(K \in C^1(\Rbb)\) が type change function であるとは, \(K\) が次の4つの条件を満たすことである.

  1. \(K(0) = 0\),
  2. \(y \neq 0\) で \(y K(y) > 0\),
  3. \(K'(y) > 0\),
  4. ある正の定数 \(\Gd\) が存在して \(1 + (2K / K')' \geq \Gd\).

\(K(y) = y\) のとき,

である. よって, \(K(y) = y\) は type change function である.

以上の設定下で, Dirichlet 問題 (3) の弱解は次のように定義される.

\(K\) を type change function とする. \(u \in H^1_0(\GO; K)\) が Dirichlet 問題 (3) の弱解であるとは, ある関数列 \(\{ u_n \} \subset C^\infty_0(\GO)\) が存在して, \(n \rightarrow \infty\) で \[ \| u_n - u \|_{H^1_0(\GO; K)} \rightarrow 0, \quad \| L u_n - f \|_{H^{-1}(\GO; K)} \rightarrow 0 \tag{4} \] が成り立つことである.

条件 (4) は以下と同値である. 任意の \(\Gvf \in H^1_0(\GO; K)\) に対して, \[ \langle Lu, \Gvf \rangle = - \int_\GO (K u_x \Gvf_x + u_y \Gvf_y)\,dxdy = \langle f, \Gvf \rangle \tag{5} \] が成り立つ.

以下, 必要となる概念を導入する.

\(K\) を type change function とする. 関数空間 \(L^2(\GO; |K|)\) を \begin{align*} L^2(\GO; |K|) :=& \{ f \in L^2(\GO) | \| f \|_{L^2(\GO; |K|)} < \infty \},\\ \| f \|_{L^2(\GO; |K|)} :=& \left( \int_\GO |K(y)| f(x, y)^2 \,dxdy \right) \end{align*} で定義する. また, 関数空間 \(L^2(\GO; |K|^{-1})\) を \begin{align*} L^2(\GO; |K|^{-1}) :=& \{ f \in L^2(\GO) | \| f \|_{L^2(\GO; |K|^{-1})} < \infty \},\\ \| f \|_{L^2(\GO; |K|^{-1})} :=& \left( \int_\GO |K(y)|^{-1} f(x, y)^2 \,dxdy \right) \end{align*} で定義する.

次の包含関係が成り立つ. $$ L^2(\GO; |K|^{-1}) \subset L^2(\GO) \subset L^2(\GO; |K|). $$

\(f \in L^2(\GO; |K|)\), \(g \in L^2(\GO; |K|^{-1})\) とすると, \(|(f, g)_{L^2(\GO)}| \leq \| f \|_{L^2(\GO; |K|)} \| g \|_{L^2(\GO; |K|^{-1})}\) が成り立つ. よって, 有界な双線型形式 \(\langle g, f \rangle := (f, g)_{L^2(\GO)}\) が定義され, この形式により \(L^2(\GO; |K|^{-1})\) は \(L^2(\GO; |K|)\) の双対空間となる.

領域 \(\GO\) に対して次を仮定する. \(AB := \ol{\GO} \cap \{ y = 0 \}\) とし, 必要なら平行移動することで \(B = (0, 0)\) とする.

\(V(x, y) = (V_1(x, y), V_2(x, y))\) を \(\ol{\GO}\) 上の Lipschitz 連続なベクトル場とする. また, \((x_0, y_0) \in \ol{\GO}\) に対して, \(F_t(x_0, y_0)\), \(t \in [0, \infty]\) を点 \((x_0, y_0)\) から出発する \(V\) の積分曲線とする. すなわち, \(F_t(x_0, y_0)\) は常微分方程式の初期値問題 $$ \begin{cases} \frac{d}{dt} F_t(x_0, y_0) = V(F_t(x_0, y_0)), \quad t > 0,\\ F_0(x_0, y_0) = (x_0, y_0) \end{cases} $$ の (唯一つの) 解である. \(\GO\) がベクトル場 \(V\) に対して星型であるとは, 任意の \((x_0, y_0) \in \ol{\GO}\) に対して, \(F_t(x_0, y_0) \in \ol{\GO}\) が任意の \(t \in [0, \infty]\) で成り立つことを言う.

\(V(x, y) = (V_1(x, y), V_2(x, y))\) を \(\ol{\GO}\) 上の Lipschitz 連続なベクトル場とする. \(\p \GO\) が \(V\)-starlike boundary であるとは, 任意の正則点 \((x, y) \in \p \GO\) において \(V(x, y) \cdot n(x, y) \leq 0\) が成り立つことを言う. ただし, \(n(x, y)\) は点 \((x, y)\) における \(\p \GO\) の外向き単位法線ベクトルである.

\(\GO\) がベクトル場 \(V\) に対して星型ならば, \(\GO\) は \(V\)-starlike boundary を持つ.

以下では, type change function として次のものを考える. \[ K(y) := y |y|^{m- 1}, \quad m > 0. \tag{6} \] 対応する作用素 \(L\) は Gellerstedt operator と呼ばれる.

以上の設定下で, 次の定理が成り立つ.

\(\GO\) はベクトル場 \(V = (-(m + 2)x, - \Gm y)\) に対して星型であると仮定する. ただし, \(\Gm\) は \(y > 0\) のとき \(\Gm = 2\), \(y < 0\) のとき \(\Gm = 1\) とする. このとき, 任意の \(f \in L^2(\GO; |K|^{-1})\) に対して, 境界値問題 (3) の弱解が唯一つ存在する.

定理1. の証明のため, 次の補題を準備する.

定理1. の仮定下で, 次の評価が成り立つ: ある定数 \(C_1 > 0\) が存在して, 任意の \(u \in C^\infty_0(\GO)\) に対して \[ \| u \|_{L^2(\GO; |K|)} \leq C_1 \| Lu \|_{H^{-1}(\GO; K)} \tag{7} \] が成り立つ.

評価 (7) が成立するとき, 領域 \(\GO\) は Dirichlet 問題 (3) の弱解に対して admissible であるという.

[補題1. の証明]

次の補助境界値問題を考える. \[ \begin{cases} Mv := - \frac{1}{4} v + (m + 2)x v_x + \Gm y v_y = u &\mbox{ in } \GO,\\ v = 0 &\mbox{ on } \p \GO \setminus B. \tag{8} \end{cases} \]

まず, 次の命題を証明する. 任意の \(u \in C^\infty_0(\GO)\) に対して, 補助問題 (8) および次の性質を満たす関数 \(v \in C^\infty(\GO^\pm) \cap C^0(\ol{\GO} \setminus B)\) が存在する. \[ \lim_{(x, y) \rightarrow B} v(x, y) = 0, \tag{9} \] \[ \int_{\GO^\pm} (|K| v_x^2 + v_y^2)\,dxdy < \infty. \tag{10} \] 特に, \(v(B) = 0\) と定義すれば, \(v \in C^0(\ol{\GO}) \cap H^1_0(\GO; K)\) となる.

実際, \(u\), \(v\) が滑らかであるとき, 方程式 \(M v = u\) は $$ -\frac{1}{4} v(F_t(x_0, y_0)) - \frac{d}{dt} v(F_t(x_0, y_0)) = u(F_t(x_0, y_0)) $$ と書き換えられる. ただし, \((x_0, y_0)\) は \(\ol{\GO} \setminus B\) の点, \(F_t\) は点 \((x_0, y_0)\) から出発する \(V\) の積分曲線である. 特に \((x_0, y_0) \in \p \GO \setminus B\) とすれば, \(\p \GO\) 上で \(v = 0\) であったから, 先の常微分方程式を \(t\) に関して積分して \[ v(F_t(x_0, y_0)) = - \int_0^t e^{-(t - s)/4} u(F_s(x_0, y_0))\,ds \tag{11} \] を得る. この表示から, 補助問題 (8) を満たす関数は一意に存在することが分かる.

この \(v\) が残りの2条件を満たすことを確認する. \(s \in [0, S]\) を境界 \(\p \GO\) の弧長パラメータとし, \(\GG(0) = \GG(S) = B\) なる連続関数 \(\GG\) で \(\p \GO\) をパラメータ付けする. \(u \in C^\infty_0(\GO)\) であることから, ある \(\Ge > 0\) が存在して, \(\supp u \cap N_\Ge(\p \GO) = \emptyset\) となる. ただし, $$ N_\Ge(\p \GO) := \{ (x, y) \in \ol{\GO} \mid d((x, y), \p \GO) \leq \Ge \} $$ である. このこととベクトル場の連続性に注意すると, \begin{align*} \underline{s} :=& \inf \{ s \in [0, S] \mid F_t(\GG(s)) \cap \supp u \neq \emptyset \},\\ \ol{s} :=& \sup \{ s \in [0, S] \mid F_t(\GG(s)) \cap \supp u \neq \emptyset \} \end{align*} が存在することが分かる.

\(\GO\) が \(V\) に対して星型であることに注意して, \(\GO\) を次の3つの部分に分割する. \begin{align*} \GO_1 :=& \{ F_t(\GG(s)) \mid s \in [0, \underline{s}], t \in (0, \infty) \},\\ \GO_2 :=& \{ F_t(\GG(s)) \mid s \in [\underline{s}, \ol{s}], t \in (0, \infty) \},\\ \GO_3 :=& \{ F_t(\GG(s)) \mid s \in [\ol{s}, S], t \in (0, \infty) \}. \end{align*} \((x, y) \in \GO_1 \cup \GO_3\) のとき, \((x, y)\) を通る積分曲線は \(\supp u\) と交点を持たないから, (11) より \(v(x, y) = 0\) であることが分かる. また, \((x, y) \in B_\Ge(B) \cap \GO_2\) のとき, ある \(s \in [\underline{s}, \ol{s}]\) と \(T > 0\) が存在して, \((x, y) = F_T(\GG(s))\) と書ける. よって, \(t > T\) に対して, \begin{align*} v(F_t(x, y)) =& v(F_{t + T}(\GG(s)))\\ =& -\int_0^{t + T} e^{-(t + T - r)/4} u(F_r(\GG(s)))\,dr\\ =& - e^{-t/4} \int_0^T e^{-(T-r)/4} u(F_r(\GG(s)))\,dr - \int_0^t e^{-(t - r)/4} u(F_{T + r}(\GG(s)))\,dr\\ =& - e^{-t/4} v(x, y) \end{align*} が成り立つ. \(v\) は \(\ol{\GO} \setminus B\) 上連続であるから, \(\sup_{(x, y) \in \p B_\Ge(B) \cap \GO_2} |v(x, y)| < \infty\) である. よって, \(\lim_{t \rightarrow \infty} v(F_t(x, y)) = 0\) が成り立つ. 以上より, 条件 (9) が示された.

次に, \(v\) が (10) を満たすことを示すために補助問題 (8) の解 \(v\) に対して, 積分 $$ \int_{\GO^+ \setminus B_\Ge(B)} v Lu\,dxdy $$ の評価を与える. まず, \(v \in C^0(\ol{\GO})\), \(Lu \in C^\infty_0(\GO)\) であることから, $$ \lim_{\Ge \downarrow 0} \int_{\GO^+ \setminus B_\Ge(B)} |v Lu|\,dxdy < \infty $$ が成り立つことが分かる.

\(\GO^+\) での積分に対して Green の公式を適用すれば, \(Mv = u\) に注意して \begin{align*} \int_{\GO^+ \setminus B_\Ge(B)} v Lu\,dxdy =& \frac{2m + 1}{4} \int_{\GO^+ \setminus B_\Ge(B)} [K v_x^2 + v_y^2]\,dxdy\\ +& \frac{1}{2} \int_{(\p \GO^+ \setminus B_\Ge(B)) \cup (\p B_\Ge \cap \GO^+)} [2v (K u_x, u_y) - (K v_x^2 + v_y^2)(b, c)] \cdot n\,ds \end{align*} が得られる. \(\supp u \cap \Ncal_\Ge(\p \GO) = \emptyset\) が成立するよう \(\Ge > 0\) を十分小さく取っておけば, \((\p \GO \setminus B_\Ge(B)) \cap (\p B_\Ge \cap \GO^+)\) 上で \(u_x = u_y = 0\) が成り立つ. よって, \(\Ge > 0\) が十分小さい時 $$ \int_{(\p \GO^+ \setminus B_\Ge(B)) \cup (\p B_\Ge \cap \GO^+)} v (K u_x, u_y) \cdot n\,ds = - \int_{AB} v u_y\,dx $$ が成り立つ. また, \(\p \GO \setminus B_\Ge(B)\) の近傍では \(v_x = v_y = 0\), \(AB\) 上では \((b, c) \cdot n = 0\) であるから, $$ \int_{\p \GO^+ \setminus B_\Ge(B)} (K v_x^2 + v_y^2)(b, c) \cdot n\,ds = 0 $$ である. さらに, \((x, y) \rightarrow B\) で \(v(x, y) \rightarrow v(B) = 0\) であるから, $$ \lim_{(x, y) \rightarrow B} |x| |v_x(x, y)| = \lim_{(x, y) \rightarrow B} |y| |v_x(x, y)| = \lim_{(x, y) \rightarrow B} |x| |v_y(x, y)| = \lim_{(x, y) \rightarrow B} |y| |v_y(x, y)| = 0 $$ が成り立つので, $$ \lim_{\Ge \downarrow 0} \int_{\p B_\Ge \cap \GO^+} (K v_x^2 + v_y^2)(b, c) \cdot n\,ds = 0 $$ である. 以上をまとめて, \begin{align*} \int_{\GO^+} v Lu\,dxdy =& \frac{2m + 1}{4} \int_{\GO^+} [K v_x^2 + v_y^2]\,dxdy - \int_{AB} v u_y\,dx,\\ \int_{\GO^+} [K v_x^2 + v_y^2]\,dxdy \leq& \frac{4}{2m + 1} \left\{ \int_{\GO^+} |v Lu|\,dxdy + \int_{AB} |v u_y|\,dx \right\} < \infty \end{align*} が得られる.

\(\GO^-\) 上の積分についても同様の議論を適用して, \begin{align*} \int_{\GO^-} v Lu\,dxdy =& \frac{1}{4} \int_{\GO^-} [|K| v_x^2 + (2m + 3)v_y^2]\,dxdy + \int_{AB} v u_y\,dx,\\ \int_{\GO^-} [|K| v_x^2 + v_y^2]\,dxdy \leq& 4 \left\{ \int_{\GO^-} |v Lu|\,dxdy + \int_{AB} |v u_y|\,dx \right\} < \infty \end{align*} が得られる. これにより, 補助問題 (8) の解 \(v\) が (10) を満たすことが確認された.

\(\GO^+\) 上と \(\GO^-\) 上の積分とを足し合わせると, \begin{align*} (v, Lu)_{L^2} =& \int_{\GO^+} v Lu\,dxdy + \int_{\GO^-} v Lu\,dxdy\\ =& \frac{2m + 1}{4} \int_{\GO^+} (K v_x^2 + v_y^2)\,dxdy + \frac{1}{4} \int_{\GO^-} (|K| v_x^2 + (2m + 3) v_y^2)\,dxdy \end{align*} が得られる. よって, \(m > 0\) ならば, 任意の \(u \in C^\infty_0(\GO)\) に対して, $$ |(v, Lu)_{L^2}| \geq \frac{1}{4} \int_\GO (|K| v_x^2 + v_y^2)\,dxdy = \frac{1}{4} \| v \|_{H^1_0(\GO; K)}^2 $$ が成り立つ.

一方, 一般化された Schwarz の不等式より, $$ |(v, Lu)_{L^2}| = |\langle v, Lu \rangle| \leq \| v \|_{H^1_0(\GO; K)} \| Lu \|_{H^{-1}(\GO; K)} $$ が成り立つ.

これらの評価を合わせて, $$ \frac{1}{4} \| v \|_{H^1_0(\GO; K)}^2 \leq \| v \|_{H^1_0(\GO; K)} \| Lu \|_{H^{-1}(\GO; K)} $$ が成り立つ. これを整理して, $$ \| v \|_{H^1_0(\GO; K)} \leq 4 \| Lu \|_{H^{-1}(\GO; K)} $$ を得る. ところで, 作用素 \(M: H^1_0(\GO; K) \rightarrow L^2(\GO; |K|)\) は連続であるから, ある定数 \(C_M > 0\) が存在して, $$ \| u \|_{L^2(\GO; |K|)} = \| M v \|_{L^2(\GO; |K|)} \leq C_M \| v \|_{H^1_0(\GO; K)} $$ が成り立つ. ゆえに, $$ \| u \|_{L^2(\GO; |K|)} \leq 4 C_M \| Lu \|_{H^{-1}(\GO; K)} $$ が成り立つ. これはまさに評価 (7) である.

\(\Box\)
[定理1. の証明]

領域 \(\GO\) が admissible であると仮定する. このとき, \(f \in L^2(\GO; |K|^{-1})\) に対して, \(C^\infty_0(\GO)\) 上の有界線型汎関数 \(J_f\) を $$ J_f(L \Gvf) := (f, \Gvf)_{L^2}, \quad \Gvf \in C^\infty_0(\GO) $$ で定義する. 補題1. より, 任意の \(\Gvf \in C^\infty_0(\GO)\) に対して $$ |J_f(L \Gvf)| \leq \| f \|_{L^2(\GO; |K|^{-1})} \| \Gvf \|_{L^2(\GO; |K|)} \leq C_1 \| f \|_{L^2(\GO; |K|^{-1})} \| L \Gvf \|_{H^{-1}(\GO; K)} $$ が成り立つ. よって, \(J_f\) は \(V\) 上の有界線型汎関数となる. ただし, $$ V := \{ L \Gvf \in H^{-1}(\GO; K) \mid \Gvf \in C^\infty_0(\GO) \} $$ である. Hahn-Banach の定理より, \(J_f\) は \(\ol{V} \subset H^{-1}(\GO; K)\) まで拡張できる. さらに \(\ol{V}^\perp\) 上では \(0\) と定めることにより, \(J_f\) を \(H^{-1}(\GO; K)\) 上の有界線型汎関数にまで拡張する.

ここで, Riesz の表現定理から, ある \(u \in H^1_0(\GO; K)\) が存在して, 任意の \(\GF \in H^{-1}(\GO; K)\) に対して $$ \la \GF, u\ra = J_f(\GF) $$ が成り立つ. 特に, \(\GF \in V\) と取れば, ある \(\Gvf \in C_0^\infty(\GO)\) が存在して \(\GF = L \Gvf\) と書け, $$ \la L \Gvf, u \ra = J_f(L \Gvf) = (f, \Gvf)_{L^2} $$ が成り立つことが分かる. ただし, \(L\) は \(H^1_0(\GO; K)\) への自己共役拡大を取っている.

上で得られた超関数解 \(u \in H^1_0(\GO; K)\) が弱解になっていることを確認する. \(u\) の \(H^1_0(\GO; K)\) での近似列 \(\{u_n\} \subset C^\infty_0(\GO)\) を1つ取る. すなわち, \(n \rightarrow \infty\) で \(\| u_n - u \|_{H^1_0(\GO; K)} \rightarrow 0\) が成り立つとする. このとき, \(f_n := L u_n\) とすると, 作用素 \(L : H^1_0(\GO; K) \rightarrow H^{-1}(\GO; K)\) の連続性から, ある \(\tilde{f} \in H^{-1}(\GO; K)\) が存在して, \(n \rightarrow \infty\) で \(\| f_n - \tilde{f}\|_{H^{-1}(\GO; K)} \rightarrow 0\) となる.

また, 作用素 \(L\) は自己共役であるから, $$ \langle u_n, L \Gvf \rangle = \langle L u_n, \Gvf \rangle = (f_n, \Gvf)_{L^2(\GO)} $$ が任意の \(\Gvf \in H^1_0(\GO; K)\) に対して成り立つ. よって, 任意の \(\Gvf \in H^1_0(\GO; K)\) に対して $$ |(f_n - f, \Gvf)_{L^2(\GO)}| = |\langle u_n - u, L \Gvf \rangle| \leq \| u_n - u \|_{H^1_0(\GO; K)} \| L \Gvf \|_{H^{-1}(\GO; K)} $$ が成り立つ. これにより, \(f_n\) が \(f\) に \(H^{-1}(\GO; K)\) の意味で弱収束することが分かる.

最後に, 任意の \(\Gvf \in H^1_0(\GO; K)\) に対して $$ |\langle f - \tilde{f}, \Gvf \rangle| \leq |\langle f_n - f, \Gvf \rangle| + \| f_n - \tilde{f} \|_{H^{-1}(\GO; K)} \| \Gvf \|_{H^1_0(\GO; K)} $$ とし, \(n \rightarrow \infty\) で右辺が \(0\) に収束することから, \(H^{-1}(\GO; K)\) で \(f = \tilde{f}\) が成り立つ. よって, \(n \rightarrow \infty\) で $$ \| f_n - f \|_{H^{-1}(\GO; K)} = \| f_n - \tilde{f} \|_{H^{-1}(\GO; K)} \rightarrow 0 $$ となり, 結論を得る.

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参考文献

  1. D. Lupo, C. S. Morawetz and K. R. Payne, On closed boundary value problems for equations of mixed elliptic-hyperbolic type, Comm. Pure Appl. Math., 60, (2007), pp.1319-1348.
  2. C. S. Morawetz, The Dirichlet problem for the Tricomi equation, Comm. Pure Appl. Math., 23, (1970), pp.587-601.
  3. M. Pilant, The Neumann problem for an equation of Lavrent'ev-Bitsadze type, J. Math. Anal. Appl., 106(2), (1985), pp.321-359.