$$
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% define bold face
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% Abbreviate definitions of greek symbols
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\DeclareMathOperator{\Real}{Re}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$$
楕円型作用素の随伴について
\(\GO\) を \(\Rbb^n\) の有界領域とし, その境界 \(\p \GO\) は十分滑らか (例えば \(C^2\) 級) であるとする. \(\GO\) 上の微分作用素 \(\Lcal\) を次で定義する:
\[
\Lcal u := -\p_{x_i} (a_{ij} u_{x_j}) + a_i u_{x_i} + a u. \tag{1}
\]
ただし, 係数 \(a_{ij}\), \(a_i\) および \(a\) は以下の条件を満たすものとする.
- \(a_{ij}, a_i \in W^{1, \infty}(\GO)\), \(a \in L^\infty(\GO)\),
- 任意の \(i, j\) に対して \(a_{ij} = a_{ji}\),
- ある \(\Gm > 0\), \(\Gv > 0\) が存在して, 任意の \(\Gx = (\Gx_1, \ldots, \Gx_n) \in \Rbb^n\) に対して
\[
\Gv |\Gx|^2 \leq a_{ij}(x) \Gx_i \Gx_j \leq \Gm |\Gx|^2
\]
がほとんど至るところの \(x \in \GO\) について成り立つ.
このとき, 微分作用素 \(\Lcal\) は \(D(\Lcal) = H^2(\GO) \cap H^1_0(\GO)\) を定義域とする \(L^2(\GO)\) 上の非有界線型作用素と見なすことができる.
今, 微分作用素 \(\Lcal\) の形式的随伴作用素を \(\Lcal'\) とする. すなわち,
\[
\Lcal' v := - \p_{x_j} (a_{ij} v_{x_i}) - \p_{x_i} (a_i v) + a v \tag{2}
\]
とする. 作用素 \(\Lcal\) と同様に, 作用素 \(\Lcal'\) も \(D(\Lcal') = H^2(\GO) \cap H^1_0(\GO)\) を定義域とする \(L^2(\GO)\) 上の非有界線型作用素と見なすことができる.
また, 微分作用素 \(\Lcal\) の随伴作用素 \(\Lcal^*\) は次のように定義される: \(v \in L^2(\GO)\) を1つ固定する. このとき, ある \(w \in L^2(\GO)\) が存在して, 任意の \(u \in D(\Lcal)\) に対して
$$
(\Lcal u, v)_{L^2(\GO)} = (u, w)_{L^2(\GO)}
$$
が成立するならば, \(v \in D(\Lcal^*)\) として, \(w = \Lcal^* v\) と定める. すなわち, 任意の \(u \in D(\Lcal)\), \(v \in D(\Lcal^*)\) に対して
\[
(\Lcal u, v)_{L^2(\GO)} = (u, \Lcal^* v)_{L^2(\GO)} \tag{3}
\]
が成立するものとする.
微分作用素 \(\Lcal^*\) の定義域 \(D(\Lcal^*)\) について考察する.
(1) で定義される微分作用素 \(\Lcal\) の係数 \(a_{ij}\), \(a_i\) および \(a\) は所与の仮定を満たすものとする. このとき, \(\Lcal\) の形式的随伴作用素 \(\Lcal'\) と随伴作用素 \(\Lcal^*\) は一致する. すなわち,
$$
D(\Lcal^*) = D(\Lcal') = H^2(\GO) \cap H^1_0(\GO)
$$
であり, 任意の \(v \in H^2(\GO) \cap H^1_0(\GO)\) に対して \(\Lcal^* v = \Lcal' v\) が成り立つ.
定理1. の証明のために作用素 \(\Lcal\), \(\Lcal'\) および \(\Lcal^*\) の性質を調べておく.
微分作用素 \(\Lcal\) および \(\Lcal'\) はそれぞれ \(H^2(\GO) \cap H^1_0(\GO)\) から \(L^2(\GO)\) への全単射である.
\(X\), \(Y\) を Hilbert 空間, \(A\) を \(X\) から \(Y\) への線型作用素とする. \(A\) の零空間 \(\Ncal(A)\) および像 \(\Rcal(A)\) を
\begin{align*}
\Ncal(A) :=& \{ x \in D(A) \mid Ax = 0 \},\\
\Rcal(A) :=& \{ y \in Y \mid \mbox{ある } x \in D(A) \mbox{ が存在して } y = Ax \}
\end{align*}
と定義する.
随伴作用素 \(\Lcal^*\) について,
$$
\Ncal(\Lcal^*) = \{ 0 \}
$$
が成り立つ.
\(\Rcal(\Lcal) = L^2(\GO)\) と \(\Ncal(\Lcal^*) = \Rcal(\Lcal)^\perp\) から結論が従う.
\(\Box\)
\(X\), \(Y\) を Hilbert 空間, \(S\), \(T\) を \(X\) から \(Y\) への線型作用素とする. \(T\) が \(S\) の拡大 (または \(S\) が \(T\) の縮小) であるとは, \(D(S) \subset D(T)\) かつ任意の \(x \in D(S)\) に対して \(Sx = Tx\) が成立することである. \(T\) が \(S\) の拡大であることを \(S \subset T\) と表す.
形式的随伴作用素 \(\Lcal'\) と随伴作用素 \(\Lcal^*\) について, \(\Lcal' \subset \Lcal^*\) が成り立つ.
\(v \in D(\Lcal') = H^2(\GO) \cap H^1_0(\GO)\) を1つ固定する. このとき, 形式的随伴作用素の定義と部分積分により
$$
(\Lcal u, v)_{L^2(\GO)} = (u, \Lcal'v)_{L^2(\GO)}
$$
が任意の \(u \in H^2(\GO) \cap H^1_0(\GO)\) に対して成り立つ. 随伴作用素 \(\Lcal^*\) の定義より, これは \(v \in D(\Lcal^*)\), \(\Lcal^* v = \Lcal' v\) を意味する. したがって, \(\Lcal' \subset \Lcal^*\) が成り立つ.
\(\Box\)
命題1. および 命題3. から,
$$
\Lcal^*(H^2(\GO) \cap H^1_0(\GO)) = \Lcal'(H^2(\GO) \cap H^1_0(\GO)) = L^2(\GO)
$$
が成り立つ. 一方, 定義より \(\Rcal(\Lcal^*) = L^2(\GO)\) であるから,
$$
D(\Lcal^*) = H^2(\GO) \cap H^1_0(\GO) \cup \Ncal(\Lcal^*)
$$
である. ところが, 命題2. より \(\Ncal(\Lcal^*) = \{ 0 \}\) である. したがって,
$$
D(\Lcal^*) = H^2(\GO) \cap H^1_0(\GO)
$$
である. 以上で 定理1. が証明された.
参考文献
- O. A. Ladyzhenskaya, The Boundary Value Problems of Mathematical Physics, Applied Mathematical Sciences 49, Springer-Verlag, New York (1985) (Original Russian edition published by Nauka, Moscow (1973)).