移流方程式の解の L^p 評価

$$ \newcommand{\pv}{\mbox{p.v.}} \newcommand{\nm}{\noalign{\smallskip}} %\newcommand{\qed}{ $\Box$} \newcommand{\ds}{\displaystyle} %\newcommand{\pf}{\noindent {\sl Proof}. \ } \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\pd}[2]{\frac {\p #1}{\p #2}} \newcommand{\eqnref}[1]{(\ref {#1})} \newcommand{\Abb}{\mathbb{A}} \newcommand{\Cbb}{\mathbb{C}} \newcommand{\Hbb}{\mathbb{H}} \newcommand{\Ibb}{\mathbb{I}} \newcommand{\Nbb}{\mathbb{N}} \newcommand{\Kbb}{\mathbb{K}} \newcommand{\Rbb}{\mathbb{R}} \newcommand{\Sbb}{\mathbb{S}} \renewcommand{\div}{\mbox{div}\,} \newcommand{\la}{\langle} \newcommand{\ra}{\rangle} \newcommand{\Acal}{\mathcal{A}} \newcommand{\Bcal}{\mathcal{B}} \newcommand{\Ccal}{\mathcal{C}} \newcommand{\Ecal}{\mathcal{E}} \newcommand{\Fcal}{\mathcal{F}} \newcommand{\Hcal}{\mathcal{H}} \newcommand{\Lcal}{\mathcal{L}} \newcommand{\Kcal}{\mathcal{K}} \newcommand{\Ncal}{\mathcal{N}} \newcommand{\Dcal}{\mathcal{D}} \newcommand{\Pcal}{\mathcal{P}} \newcommand{\Qcal}{\mathcal{Q}} \newcommand{\Rcal}{\mathcal{R}} \newcommand{\Scal}{\mathcal{S}} \newcommand{\Tcal}{\mathcal{T}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % define bold face %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\Ba{{\bf a}} \def\Bb{{\bf b}} \def\Bc{{\bf c}} \def\Bd{{\bf d}} \def\Be{{\bf e}} \def\Bf{{\bf f}} \def\Bg{{\bf g}} \def\Bh{{\bf h}} \def\Bi{{\bf i}} \def\Bj{{\bf j}} \def\Bk{{\bf k}} \def\Bl{{\bf l}} \def\Bm{{\bf m}} \def\Bn{{\bf n}} \def\Bo{{\bf o}} \def\Bp{{\bf p}} \def\Bq{{\bf q}} \def\Br{{\bf r}} \def\Bs{{\bf s}} \def\Bt{{\bf t}} \def\Bu{{\bf u}} \def\Bv{{\bf v}} \def\Bw{{\bf w}} \def\Bx{{\bf x}} \def\By{{\bf y}} \def\Bz{{\bf z}} \def\BA{{\bf A}} \def\BB{{\bf B}} \def\BC{{\bf C}} \def\BD{{\bf D}} \def\BE{{\bf E}} \def\BF{{\bf F}} \def\BG{{\bf G}} \def\BH{{\bf H}} \def\BI{{\bf I}} \def\BJ{{\bf J}} \def\BK{{\bf K}} \def\BL{{\bf L}} \def\BM{{\bf M}} \def\BN{{\bf N}} \def\BO{{\bf O}} \def\BP{{\bf P}} \def\BQ{{\bf Q}} \def\BR{{\bf R}} \def\BS{{\bf S}} \def\BT{{\bf T}} \def\BU{{\bf U}} \def\BV{{\bf V}} \def\BW{{\bf W}} \def\BX{{\bf X}} \def\BY{{\bf Y}} \def\BZ{{\bf Z}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Abbreviate definitions of greek symbols %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\Ga}{\alpha} \newcommand{\Gb}{\beta} \newcommand{\Gd}{\delta} \newcommand{\Ge}{\epsilon} \newcommand{\Gve}{\varepsilon} \newcommand{\Gf}{\Gvf} \newcommand{\Gvf}{\varphi} \newcommand{\Gg}{\gamma} \newcommand{\Gc}{\chi} \newcommand{\Gi}{\iota} \newcommand{\Gk}{\kappa} \newcommand{\Gvk}{\varkappa} \newcommand{\Gl}{\lambda} \newcommand{\Gn}{\eta} \newcommand{\Gm}{\mu} \newcommand{\Gv}{\nu} \newcommand{\Gp}{\pi} \newcommand{\Gt}{\theta} \newcommand{\Gvt}{\vartheta} \newcommand{\Gr}{\rho} \newcommand{\Gvr}{\varrho} \newcommand{\Gs}{\sigma} \newcommand{\Gvs}{\varsigma} \newcommand{\Gj}{\Phi^*} \newcommand{\Gu}{\upsilon} \newcommand{\Go}{\omega} \newcommand{\Gx}{\xi} \newcommand{\Gy}{\psi} \newcommand{\Gz}{\zeta} \newcommand{\GD}{\Delta} \newcommand{\GF}{\Phi} \newcommand{\GG}{\Gamma} \newcommand{\GL}{\Lambda} \newcommand{\GP}{\Pi} \newcommand{\GT}{\Theta} \newcommand{\GS}{\Sigma} \newcommand{\GU}{\Upsilon} \newcommand{\GO}{\Omega} \newcommand{\GX}{\Xi} \newcommand{\GY}{\Psi} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\BGG}{{\bf \GG}} \newcommand{\BGf}{\mbox{\boldmath $\Gf$}} \newcommand{\BGvf}{\mbox{\boldmath $\Gvf$}} \newcommand{\Bpsi}{\mbox{\boldmath $\Gy$}} \newcommand{\wBS}{\widetilde{\BS}} \newcommand{\wGl}{\widetilde{\Gl}} \newcommand{\wGm}{\widetilde{\Gm}} \newcommand{\wGv}{\widetilde{\Gv}} \newcommand{\wBU}{\widetilde{\BU}} %%%%%%%%%% \newcommand{\Jfrak}{\mathfrak{J}} %%%%%%%%%% \newcommand{\beq}{\begin{equation}} \newcommand{\eeq}{\end{equation}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\ol{\overline} \def\bs{\backslash} \def\wt{\widetilde} \newcommand{\hatna}{\widehat{\nabla}} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\divergence}{div} \DeclareMathOperator{\Real}{Re} \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} \DeclareMathOperator{\dist}{dist} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $$ 移流方程式の解の L^p 評価

移流方程式の解の $L^p$ 評価

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$\GO$ を $\Rbb^d$ の有界領域とし, その境界 $\p \GO$ は区分的に $C^1$ 級であるとする. また, $n(x)$ を点 $x \in \p \GO$ における外向き単位法線ベクトルとする. さらに, $a(x) = (a_1(x), \ldots, a_d(x))$ を $\ol{\GO}$ 上の $C^1$ 級ベクトル場とし, 各 $x \in \ol{\GO}$ において $|a(x)| \neq 0$ とする. このとき, 領域 $\GO$ の境界 $\p \GO$ を次の3つに分解する. \begin{align*} \GG_+ :=& \{ x \in \p \GO \mid n(x) \cdot a(x) > 0 \},\\ \GG_- :=& \{ x \in \p \GO \mid n(x) \cdot a(x) < 0 \},\\ \GG_0 :=& \p \GO \bs (\GG_+ \cup \GG_-). \end{align*}

$x_0 \in \GG_-$ とし, 初期値問題 \[ \begin{cases} \frac{dx}{dt}(t) = a(x(t)),\\ x(0) = x_0 \tag{1} \end{cases} \] を考える. ベクトル場 $a$ が $\ol{\GO}$ 上で $C^1$ 級であるから, 初期値問題 (1) は一意解 $X(t; x_0)$ を持つ. この解 $X(t; x_0)$ に対して, $$ \tau_+(x_0) := \sup\{ t \geq 0 \mid X(t; x_0) \in \GO \} $$ とおく. 簡単のため, 以下では $T_+ := \sup_{x_0 \in \GG_-} \tau_+(x_0) < \infty$ を仮定する.

領域 $\GO$ の部分集合 $\GO_0$ を $$ \GO_0 := \{ x \in \GO \mid \mbox{ある} x_0 \in \GG_- \mbox{とある} 0 < t < \tau_+(x_0) \mbox{が存在して} x = X(t; x_0) \} $$ で定義する. 以下では集合 $\GO \backslash \GO_0$ の測度が $0$ であることを仮定する.

$u_0 \in C^0(\GG_-)$, $f \in L^1(\GO) \cap C^0(\GO_0)$ とし, 次の境界値問題を考える. \[ \begin{cases} a(x) \cdot \nabla u(x) = f(x), &x \in \GO,\\ u(x) = u_0(x), &x \in \GG_-. \tag{2} \end{cases} \]

境界値問題 (2) の解の評価について考察する. 境界値問題 (2) の解 $u$ は, 初期値問題 (1) の解 $X(t; x_0)$ を用いて \[ u(X(t; x_0)) = u_0(x_0) + \int_0^t f(X(s; x_0))\,ds \tag{3} \] と書ける. 実際, $\GO_0$ 上の点 $x = X(t; x_0)$ において $$ a(x) \cdot \nabla u(x) := \frac{d}{dt} u(X(t; x)) $$ と見なすことにすれば, この関数 $u$ は $\GO_0$ 上で $a \cdot \nabla u = f$ を満たし, $\GG_-$ 上の各点 $x_0$ に対して $$ \lim_{t \downarrow 0} u(X(t; x_0)) = u_0(x_0) $$ が成り立つ. $\GO \backslash \GO_0$ 上では解は定義されないものの, 仮定より $\GO \backslash \GO_0$ の測度は0であるから, この集合上では微分方程式を考えないことにする.

本稿では (3) で表される解 $u$ に対して $L^p$ 評価を与えるが, これは a posteriori 評価である. したがって, 以下の $L^p$ 評価からは境界値問題 (2) の解の一意性は従わない.

最大値評価

境界値問題 (2) の解の最大値について考察する.

$u_0$ を $\GG_-$ 上の有界な連続関数, $f$ を $\GO$ 上の有界連続関数とする. このとき, 境界値問題 (2) の解 $u$ に対して $$ \sup_{x \in \GO_0 \cup \GG_-} |u(x)| \leq \sup_{x_0 \in \GG_-} |u_0(x_0)| + T_+ \sup_{x \in \GO} |f(x)| $$ が成り立つ.

解の表示式 (3) を評価すれば, 各 $x = X(t; x_0) \in \GO_0 \cup \GG_-$ において \begin{align*} |u(X(t; x_0))| \leq& |u_0(x_0)| + \int_0^t |f(X(s; x_0))|\,ds\\ \leq& \sup_{x_0 \in \GG_-} |u_0(x_0)| + \sup_{x_0 \in \GG_-} \tau_+(x_0) \sup_{x \in \GO} |f(x)|\\ \leq& \sup_{x_0 \in \GG_-} |u_0(x_0)| + T_+ \sup_{x \in \GO} |f(x)| \end{align*} が得られる. 左辺の上限を考えて結論を得る.

$\Box$

$L^p$ 評価

$1 \leq p < \infty$ として, 境界値問題 (2) の解の $L^p$ 評価について考察する.

部分積分により, 次の命題が成り立つ.

$u \in C^1(\GO) \cap C^0(\ol{\GO})$ とする. このとき, $$ \int_\GO \div (a(x) u(x))\,dx = \int_{\GG_+} u(x_0) n(x_0) \cdot a(x_0)\,d\Gs_{x_0} - \int_{\GG_-} u(x_0) |n(x_0) \cdot a(x_0)|\,d\Gs_{x_0} $$ が成り立つ.

$u \in C^1(\GO) \cap C^0(\ol{\GO})$ とする. このとき, $\div (au) = 0$ ならば, $$ \int_{\GG_+} u(x_0) n(x_0) \cdot a(x_0)\,d\Gs_{x_0} = \int_{\GG_-} u(x_0) |n(x_0) \cdot a(x_0)|\,d\Gs_{x_0} $$ が成り立つ.

$u \in C^1(\GO) \cap C^0(\ol{\GO})$ とする. このとき, $\div a = 0$, $a \cdot \nabla u = 0$ ならば, $$ \int_{\GG_+} u(x_0) n(x_0) \cdot a(x_0)\,d\Gs_{x_0} = \int_{\GG_-} u(x_0) |n(x_0) \cdot a(x_0)|\,d\Gs_{x_0} $$ が成り立つ.

$1 \leq p < \infty$ とする. $\GG_+$ 上の関数 $u_0$ に対して $$ \| u_0 \|_{L^p(\GG_+; |n \cdot a|)} := \left( \int_{\GG_+} |u_0(x_0)|^p |n(x_0) \cdot a(x_0)|\,d\Gs_{x_0} \right)^{1/p} $$ とし, $$ L^p(\GG_+; |n \cdot a|) := \{ u_0 \mid \| u_0 \|_{L^1(\GG_+; |n \cdot a|)} < \infty \} $$ とする. 同様にして, 関数空間 $L^p(\GG_+; |n \cdot a|)$ を定義する. 系1., 系2. において, 関数 $u$ を正の部分と負の部分に分けることで, 次の等式を得る.

$u \in C^1(\GO) \cap C^0(\ol{\GO})$ とする. このとき, $\div (au) = 0$ ならば, $$ \| u \|_{L^1(\GG_+; |n \cdot a|)} = \| u \|_{L^1(\GG_-; |n \cdot a|)} $$ が成り立つ.

$u \in C^1(\GO) \cap C^0(\ol{\GO})$ とする. このとき, $\div a = 0$, $a \cdot \nabla u = 0$ ならば, $$ \| u \|_{L^1(\GG_+; |n \cdot a|)} = \| u \|_{L^1(\GG_-; |n \cdot a|)} $$ が成り立つ.

変数変換 $x = X(t; x_0)$, $x_0 \in \GG_-$, $0 < t < \tau_+(x_0)$ を考える. $\GG_-$ における $x_0$ の微小近傍を $d\Gs_{x_0}$ とし, \begin{align*} d\Gs_{t, x_0} :=& \{ x = X(t; y) \mid y \in d\Gs_{x_0} \},\\ \GO(t) :=& \{ x = X(\tau; y) \mid 0 < \tau < t, y \in d\Gs_{x_0} \},\\ S(t) :=& \{ x = X(\tau; y) \mid 0 < \tau < t, y \in \p d\Gs_{x_0} \} \end{align*} とおく. このとき, 任意の $u \in C^1(\GO(t)) \cap C^0(\ol{\GO(t)})$ に対して $$ \int_{\GO(t)} \div (a(x) u(x))\,dx = u(X(t; x_0)) n(X(t; x_0)) \cdot a(X(t; x_0))\,d\Gs_{t, x_0} - u(x_0) |n(x_0) \cdot a(x_0)|\,d\Gs_{x_0} + \int_{S(t)} u(x) a(x) \cdot n(x)\,d\Gs $$ が成り立つ. ここで, $a(x) = dx/dt$ は $S(t)$ の接ベクトルであるから, $$ \int_{S(t)} u(x) a(x) \cdot n(x)\,d\Gs = 0 $$ である. また, $a \in C^2(\ol{\GO})$ のとき, $$ u(X(t; y)) = \exp \left( -\int_0^t (\div a)(X(r; y))\,dr \right), \quad y \in d\Gs_{x_0} $$ は $C^1(\GO(t)) \cap C^0(\ol{\GO(t)})$ であって境界値問題 $$ \begin{cases} \div (a(x) u(x)) = 0, \quad x \in \GO(t),\\ u|_{d\Gs_{x_0}} = 1 \end{cases} $$ を満たす. よって, このように $u$ を取れば $$ \exp \left( -\int_0^t (\div a)(X(r; x_0))\,dr \right) n(X(t; x_0)) \cdot a(X(t; x_0))\,d\Gs_{t, x_0} = |n(x_0) \cdot a(x_0)|\,d\Gs_{x_0}, $$ すなわち $$ \,d\Gs_{t, x_0} = \exp \left( \int_0^t (\div a)(X(r; x_0))\,dr \right) \frac{|n(x_0) \cdot a(x_0)|}{n(X(t; x_0)) \cdot a(X(t; x_0))}\,d\Gs_{x_0} $$ が得られる. 一方, $d\Gs_{t, x_0}$ に垂直な方向の増分は $$ \frac{dX}{dt}(t; x_0) \cdot n(X(t; x_0))\,dt = a(X(t; x_0)) \cdot n(X(t; x_0))\,dt $$ である. よって, 変数変換 $x = X(t; x_0)$ について $$ dx = a(X(t; x_0)) \cdot n(X(t; x_0))\,dt \cdot \exp \left( \int_0^t (\div a)(X(r; x_0))\,dr \right) \frac{|n(x_0) \cdot a(x_0)|}{n(X(t; x_0)) \cdot a(X(t; x_0))}\,d\Gs_{x_0} = \exp \left( \int_0^t (\div a)(X(r; x_0))\,dr \right) |n(x_0) \cdot a(x_0)|\,dt\,d\Gs_{x_0} $$ が成り立つ. なお, 議論の途中で $a \in C^2(\ol{\GO})$ を仮定したが, 適当な近似列を取ることでこの等式は任意の $a \in C^1(\ol{\GO})$ に対しても成り立つことが分かる. このことから, 次の補題が得られる.

$u \in L^1(\GO)$ とする. このとき, $$ \int_{\GO_0} u(x)\,dx = \int_{\GG_-} \left( \int_0^{\tau_+(x_0)} u(X(t; x_0)) \exp \left( \int_0^t (\div a)(X(r; x_0))\,dr \right)\,dt \right)|n(x_0) \cdot a(x_0)|\,d\Gs_{x_0} $$ が成り立つ.

$u \in L^1(\GO)$, $\div a = 0$ とする. このとき, $$ \int_{\GO_0} u(x)\,dx = \int_{\GG_-} \left( \int_0^{\tau_+(x_0)} u(X(t; x_0))\,dt \right)|n(x_0) \cdot a(x_0)|\,d\Gs_{x_0} $$ が成り立つ.

$1 \leq p < \infty$, $u_0 \in L^p(\GG_-; |n \cdot a|)$, $f \in L^p(\GO)$, とする. このとき, $$ \| u \|_{L^p(\GO)} \leq 2^{1 - 1/p} A_0^{1/p} \| u_0 \|_{L^p(\GG_-; |n \cdot a|)} + 2^{1 - 1/p} A_p^{1/p} \| f \|_{L^p(\GO)} $$ が成り立つ. ただし, \begin{align*} A_0 :=& \sup_{x_0 \in \GG_-} \int_0^{\tau_+(x_0)} \exp \left( \int_0^t (\div a)(X(r; x_0))\,dr \right)\,dt,\\ A_p :=& \sup_{x_0 \in \GG_-} \tau_+(x_0)^{p - 1}\int_0^{\tau_+(x_0)} \exp \left( \int_0^t (\div a)(X(r; x_0))\,dr \right)\,dt \end{align*} である.

$1 \leq p < \infty$, $a \geq 0$, $b \geq 0$ のとき $(a + b)^p \leq 2^{p-1}(a^p + b^p)$ が成立することに注意すると, 補題1. より, \begin{align*} \int_{\GO_0} |u(x)|^p\,dx =& \int_{\GG_-} \int_0^{\tau_+(x_0)} |u_0(x_0) + \int_0^t f(X(s; x_0))\,ds|^p \exp \left( \int_0^t (\div a)(X(r; x_0))\,dr \right) \,dt\\ &\quad \times |n(x_0) \cdot a(x_0)|\,d\Gs_{x_0}\\ \leq& 2^{p-1} \int_{\GG_-} \left( \int_0^{\tau_+(x_0)} \exp \left( \int_0^t (\div a)(X(r; x_0))\,dr \right) \,dt \right) |u_0(x_0)|^p |n(x_0) \cdot a(x_0)|\,d\Gs_{x_0}\\ &+ 2^{p-1} \int_{\GG_-} \left( \int_0^{\tau_+(x_0)} \exp \left( \int_0^t (\div a)(X(r; x_0))\,dr \right) \,dt \right)\\ &\quad \times \left|\int_0^{\tau_+(x_0)} f(X(s; x_0))\,ds \right|^p |n(x_0) \cdot a(x_0)|\,d\Gs_{x_0}\\ \leq& 2^{p-1} A_0 \int_{\GG_-} |u_0(x_0)|^p |n(x_0) \cdot a(x_0)|\,d\Gs_{x_0}\\ &+ 2^{p-1} A_p \int_{\GG_-} \int_0^{\tau_+(x_0)} |f(X(s; x_0))|^p\,ds |n(x_0) \cdot a(x_0)|\,d\Gs_{x_0}\\ =& 2^{p-1} A_0 \| u_0 \|_{L^p(\GG_-; |n \cdot a|)}^p + 2^{p-1} A_p \| f \|_{L^p(\GO)}^p \end{align*} が成り立つ. $0 < q \leq 1$, $a \geq 0$, $b \geq 0$ のとき $(a + b)^q \leq a^q + b^q$ が成立することに注意すれば, $$ \| u \|_{L^p(\GO)} \leq \left( 2^{p-1} A_0 \| u_0 \|_{L^p(\GG_-; |n \cdot a|)}^p + 2^{p-1} A_p \| f \|_{L^p(\GO)}^p \right)^{1/p} \leq 2^{1 - 1/p} A_0^{1/p} \| u_0 \|_{L^p(\GG_-; |n \cdot a|)} + 2^{1 - 1/p} A_p^{1/p} \| f \|_{L^p(\GO)} $$ が得られる.

$\Box$

$1 \leq p < \infty$, $u_0 \in L^p(\GG_-; |n \cdot a|)$, $f \in L^p(\GO)$, $\div a = 0$ とする. このとき, $$ \| u \|_{L^p(\GO)} \leq 2^{1 - 1/p} \left( T_+^{1/p} \| u_0 \|_{L^p(\GG_-; |n \cdot a|)} + T_+ \| f \|_{L^p(\GO)} \right) $$ が成り立つ.

これを利用して, Poincaré 型の不等式が得られる.

$1 \leq p < \infty$ とする. $u \in W^{1, p}(\GO)$ が $\GG_-$ 上で $u = 0$ を満たすならば, $$ \| u \|_{L^p(\GO)} \leq d^{1 - 1/p} A_p^{1/p} \| a \|_{L^\infty(\GO)} \| \nabla u \|_{L^p(\GO)} $$ が成り立つ.

定理1. の証明において, $u_0 = 0$ のときには右辺に $2^{p-1}$ をかけなくても不等式が成立することに注意すると, $f = a \cdot \nabla u$ として $$ \| u \|_{L^p(\GO)} \leq A_p^{1/p} \| a \cdot \nabla u \|_{L^p(\GO)} $$ が得られる. ここで, $$ \int_\GO |a(x) \cdot \nabla u(x)|^p\,dx \leq d^{p - 1} \| a \|_{L^\infty(\GO)}^p \int_\GO \sum_{j=1}^d |\p_{x_j} u(x)|^p \,dx $$ と評価して辺々を $1/p$ 乗すれば, 先の評価と合わせて結論が得られる.

$\Box$

$1 \leq p < \infty$, $\div a = 0$ とする. $u \in W^{1, p}(\GO)$ が $\GG_-$ 上で $u = 0$ を満たすならば, $$ \| u \|_{L^p(\GO)} \leq d^{1 - 1/p} T_+ \| a \|_{L^\infty(\GO)} \| \nabla u \|_{L^p(\GO)} $$ が成り立つ.

参考文献

Wikipedia: Convection-diffusion equation

移流方程式の解の \(L^p\) 評価

最大値評価

\(L^p\) 評価

参考文献