$$
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% define bold face
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% Abbreviate definitions of greek symbols
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$$
移流方程式の L^p 解の一意性
\(\GO\) を \(\Rbb^d\) の有界領域とし, その境界 \(\p \GO\) は区分的に \(C^1\) 級であるとする. また, \(n(x)\) を点 \(x \in \p \GO\) における外向き単位法線ベクトルとする. さらに, \(a(x) = (a_1(x), \ldots, a_d(x))\) を \(\ol{\GO}\) 上の \(C^1\) 級ベクトル場とし, 各 \(x \in \ol{\GO}\) において \(|a(x)| \neq 0\) とする. このとき, 領域 \(\GO\) の境界 \(\p \GO\) を次の3つに分解する.
\begin{align*}
\GG_+ :=& \{ x \in \p \GO \mid n(x) \cdot a(x) > 0 \},\\
\GG_- :=& \{ x \in \p \GO \mid n(x) \cdot a(x) < 0 \},\\
\GG_0 :=& \p \GO \bs (\GG_+ \cup \GG_-).
\end{align*}
\(x_0^* \in \GG_+\) とし, 初期値問題
\[
\begin{cases}
\frac{dx}{dt}(t) = -a(x(t)),\\
x(0) = x_0^* \tag{1}
\end{cases}
\]
を考える. ベクトル場 \(a\) が \(\ol{\GO}\) 上で \(C^1\) 級であるから, 初期値問題 (1) は一意解 \(x = X_b(t; x_0^*)\) を持つ. この解 \(X_b(t; x_0^*)\) に対して
$$
\tau_-(x_0^*) := \sup \{ t \geq 0 \mid X_b(t; x_0^*) \in \GO \} %\inf \{ t \geq 0 \mid X_b(t; x_0^*) \in \GG_- \}, \X_b(\tau_-(x_0^*); x_0^*) が \GG_- に属するとは限らなくなる.
$$
とおく. 以下では \(T_- := \sup_{x_0^* \in \GG_+} \tau_-(x_0^*) < \infty\) を仮定する. また領域 \(\GO\) の部分集合 \(\GO_0^*\) を
$$
\GO_0^* := \{ x \in \GO \mid \mbox{ある } x_0^* \in \GG_+ \mbox{ とある } 0 < t < \tau_-(x_0^*) \mbox{ が存在して } x = X_b(t; x_0^*) \}
$$
と定義し, 以下では \(\GO \backslash \GO_0^*\) の測度が \(0\) であることを仮定する.
\(1 \leq p < \infty\) とする. \(\GG_+\) 上の関数 \(u_0\) に対して
$$
\| u_0 \|_{L^p(\GG_+; |n \cdot a|)} := \left( \int_{\GG_+} |u_0(x_0)|^p |n(x_0) \cdot a(x_0)|\,d\Gs_{x_0} \right)^{1 / p}
$$
とし,
$$
L^p(\GG_+; |n \cdot a|) := \{ u_0 \mid \| u_0 \|_{L^p(\GG_+; |n \cdot a|)} < \infty \}
$$
とする. 同様にして, 関数空間 \(L^p(\GG_-; |n \cdot a|)\) を定義する.
\(1 \leq p < \infty\), \(u_0 \in L^p(\GG_-; |n \cdot a|)\), \(f \in L^p(\GO)\) とし, 次の境界値問題を考える.
\[
\begin{cases}
a(x) \cdot \nabla u(x) = f(x), &x \in \GO,\\
u(x) = u_0(x), &x \in \GG_-. \tag{2}
\end{cases}
\]
境界値問題 (2) の \(L^p\) 解の一意性について考察する. 境界値問題 (2) の \(L^p\) 解
は次のように定義される.
\(1 \leq p < \infty\) とする. \(u \in L^p(\GO)\) が境界値問題 (2) の \(L^p\) 解であるとは, \(\Gvf|_{\GG_+} = 0\) を満たす任意の \(\Gvf \in C^1(\GO) \cap C^0(\ol{\GO})\) に対して
$$
\int_\GO u(x) \div(- a(x) \Gvf(x))\,dx = \int_{\GG_-} u_0(x_0) \Gvf(x_0) |n(x_0) \cdot a(x_0)|\,d\Gs_{x_0} + \int_\GO f(x) \Gvf(x)\,dx
$$
が成立することをいう.
境界値問題 (2) の \(L^p\) 解は存在すれば一意である.
2つの \(L^p\) 解 \(u_1\), \(u_2\) が存在したとする. このとき, \(u := u_1 - u_2\) は次を満たす: \(\Gvf|_{\GG_+} = 0\) を満たす任意の \(\Gvf \in C^1(\GO) \cap C^0(\ol{\GO})\) に対して
$$
\int_\GO u(x) \div(- a(x) \Gvf(x))\,dx = 0.
$$
ここで, \(g \in C^1_0(\GO)\) を1つ取り, 次の境界値問題を考える:
\[
\begin{cases}
\div(-a(x) v(x)) = g(x), & x \in \GO,\\
v(x) = 0, & x \in \GG_+. \tag{3}
\end{cases}
\]
特性曲線の方法により境界値問題 (3) の解は
$$
v(X_b(t; x_0^*)) = \int_0^t \exp \left( \int_s^t (\div a)(X_b(r; x_0^*))\,dr \right) g(X_b(s; x_0^*))\,ds
$$
と書ける. この解 \(v\) は厳密には \(\GO_0^* \cup \GG_+\) でしか定義されていないが, \(g \in C^1_0(\GO)\) であるからこの解の定義域を \(C^1(\GO) \cap C^0(\ol{\GO})\) の元として \(\ol{\GO}\) まで拡張できる. この拡張された解 \(v\) を \(\Gvf\) として取れば, \(g \in C^1_0(\GO)\) に対して
$$
\int_\GO u(x) g(x)\,dx = 0
$$
が成立することが分かる. 関数 \(g\) の取り方は任意であったから, 変分法の基本補題によりほとんど至るところ \(u = 0\), すなわち \(u_1 = u_2\) である.
\(\Box\)
参考文献
- Wikipedia: Convection-diffusion equation