線型 Kennedy モデルの級数解の収束

$$ \newcommand{\pv}{\mbox{p.v.}} \newcommand{\nm}{\noalign{\smallskip}} %\newcommand{\qed}{ $\Box$} \newcommand{\ds}{\displaystyle} %\newcommand{\pf}{\noindent {\sl Proof}. \ } \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\pd}[2]{\frac {\p #1}{\p #2}} \newcommand{\eqnref}[1]{(\ref {#1})} \newcommand{\Abb}{\mathbb{A}} \newcommand{\Cbb}{\mathbb{C}} \newcommand{\Hbb}{\mathbb{H}} \newcommand{\Ibb}{\mathbb{I}} \newcommand{\Nbb}{\mathbb{N}} \newcommand{\Kbb}{\mathbb{K}} \newcommand{\Rbb}{\mathbb{R}} \newcommand{\Sbb}{\mathbb{S}} \renewcommand{\div}{\mbox{div}\,} \newcommand{\la}{\langle} \newcommand{\ra}{\rangle} \newcommand{\Acal}{\mathcal{A}} \newcommand{\Bcal}{\mathcal{B}} \newcommand{\Ccal}{\mathcal{C}} \newcommand{\Ecal}{\mathcal{E}} \newcommand{\Fcal}{\mathcal{F}} \newcommand{\Hcal}{\mathcal{H}} \newcommand{\Lcal}{\mathcal{L}} \newcommand{\Kcal}{\mathcal{K}} \newcommand{\Ncal}{\mathcal{N}} \newcommand{\Dcal}{\mathcal{D}} \newcommand{\Pcal}{\mathcal{P}} \newcommand{\Qcal}{\mathcal{Q}} \newcommand{\Rcal}{\mathcal{R}} \newcommand{\Scal}{\mathcal{S}} \newcommand{\Tcal}{\mathcal{T}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % define bold face %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\Ba{{\bf a}} \def\Bb{{\bf b}} \def\Bc{{\bf c}} \def\Bd{{\bf d}} \def\Be{{\bf e}} \def\Bf{{\bf f}} \def\Bg{{\bf g}} \def\Bh{{\bf h}} \def\Bi{{\bf i}} \def\Bj{{\bf j}} \def\Bk{{\bf k}} \def\Bl{{\bf l}} \def\Bm{{\bf m}} \def\Bn{{\bf n}} \def\Bo{{\bf o}} \def\Bp{{\bf p}} \def\Bq{{\bf q}} \def\Br{{\bf r}} \def\Bs{{\bf s}} \def\Bt{{\bf t}} \def\Bu{{\bf u}} \def\Bv{{\bf v}} \def\Bw{{\bf w}} \def\Bx{{\bf x}} \def\By{{\bf y}} \def\Bz{{\bf z}} \def\BA{{\bf A}} \def\BB{{\bf B}} \def\BC{{\bf C}} \def\BD{{\bf D}} \def\BE{{\bf E}} \def\BF{{\bf F}} \def\BG{{\bf G}} \def\BH{{\bf H}} \def\BI{{\bf I}} \def\BJ{{\bf J}} \def\BK{{\bf K}} \def\BL{{\bf L}} \def\BM{{\bf M}} \def\BN{{\bf N}} \def\BO{{\bf O}} \def\BP{{\bf P}} \def\BQ{{\bf Q}} \def\BR{{\bf R}} \def\BS{{\bf S}} \def\BT{{\bf T}} \def\BU{{\bf U}} \def\BV{{\bf V}} \def\BW{{\bf W}} \def\BX{{\bf X}} \def\BY{{\bf Y}} \def\BZ{{\bf Z}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Abbreviate definitions of greek symbols %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\Ga}{\alpha} \newcommand{\Gb}{\beta} \newcommand{\Gd}{\delta} \newcommand{\Ge}{\epsilon} \newcommand{\Gve}{\varepsilon} \newcommand{\Gf}{\Gvf} \newcommand{\Gvf}{\varphi} \newcommand{\Gg}{\gamma} \newcommand{\Gc}{\chi} \newcommand{\Gi}{\iota} \newcommand{\Gk}{\kappa} \newcommand{\Gvk}{\varkappa} \newcommand{\Gl}{\lambda} \newcommand{\Gn}{\eta} \newcommand{\Gm}{\mu} \newcommand{\Gv}{\nu} \newcommand{\Gp}{\pi} \newcommand{\Gt}{\theta} \newcommand{\Gvt}{\vartheta} \newcommand{\Gr}{\rho} \newcommand{\Gvr}{\varrho} \newcommand{\Gs}{\sigma} \newcommand{\Gvs}{\varsigma} \newcommand{\Gj}{\Phi^*} \newcommand{\Gu}{\upsilon} \newcommand{\Go}{\omega} \newcommand{\Gx}{\xi} \newcommand{\Gy}{\psi} \newcommand{\Gz}{\zeta} \newcommand{\GD}{\Delta} \newcommand{\GF}{\Phi} \newcommand{\GG}{\Gamma} \newcommand{\GL}{\Lambda} \newcommand{\GP}{\Pi} \newcommand{\GT}{\Theta} \newcommand{\GS}{\Sigma} \newcommand{\GU}{\Upsilon} \newcommand{\GO}{\Omega} \newcommand{\GX}{\Xi} \newcommand{\GY}{\Psi} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\BGG}{{\bf \GG}} \newcommand{\BGf}{\mbox{\boldmath $\Gf$}} \newcommand{\BGvf}{\mbox{\boldmath $\Gvf$}} \newcommand{\Bpsi}{\mbox{\boldmath $\Gy$}} \newcommand{\wBS}{\widetilde{\BS}} \newcommand{\wGl}{\widetilde{\Gl}} \newcommand{\wGm}{\widetilde{\Gm}} \newcommand{\wGv}{\widetilde{\Gv}} \newcommand{\wBU}{\widetilde{\BU}} %%%%%%%%%% \newcommand{\Jfrak}{\mathfrak{J}} %%%%%%%%%% \newcommand{\beq}{\begin{equation}} \newcommand{\eeq}{\end{equation}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\ol{\overline} \def\bs{\backslash} \def\wt{\widetilde} \newcommand{\hatna}{\widehat{\nabla}} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\divergence}{div} \DeclareMathOperator{\Real}{Re} \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} \DeclareMathOperator{\dist}{dist} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $$ 線型 Kennedy モデルの級数解の収束

線型 Kennedy モデルの級数解の収束

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森では, $L>0$, $d>0$, $T>0$ として次の領域 \begin{align} &\Omega \equiv \{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid 0 < x < L, \ -d < y < 0\},\\ &\Gamma_1 \equiv \{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid 0\le x\le L, \ y=0\},\\ &\Gamma_2 \equiv \{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid 0\le x\le L, \ y=-d\}, \end{align} を定め, 以下の初期値境界値問題を考察する: \[ \Phi(t;\cdot,y) \in C^2_\#(0,L), t\in[0,T],\ y\in[-d,0], \tag{1} \] \[ \Delta \Phi(t;x,y)=0, (x,y)\in \Omega,\ t \in (0,T), \tag{2} \] \[ \frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2}(t;x,y) + g \frac{\partial \Phi}{\partial y}(t;x,y) = 0, (x,y)\in \Gamma_1,\ t \in (0,T), \tag{3} \] \[ \frac{\partial \Phi}{\partial y}(t;x,y) + M \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2}(t;x,y) =0, (x,y)\in \Gamma_2,\ t \in (0,T) \tag{4} \] \[ \Phi(0;x,y)=f(x,y), (x,y)\in\Omega, \tag{5} \] \[ \frac{\partial \Phi}{\partial t}(0;x,y)=h(x,y), (x,y)\in\Omega. \tag{6} \] ただし, 初期値 $f$, $h$ は次の整合条件を満たすものとする: $f,h\in C^2(\overline{\Omega})$ は $\Omega$ 上の調和関数であり, \begin{align*} &f(\cdot,y), h(\cdot,y) \in C^{2}_{\#}(0,L), & &y\in[-d,0],\\ &\frac{\partial f}{\partial y} + M \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y) =0, & &(x,y)\in \Gamma_2,\\ &\frac{\partial h}{\partial y} + M \frac{\partial^2 h}{\partial x^2}(x,y) =0, & &(x,y)\in \Gamma_2 \end{align*} を満たす.

森では, $f, h$ が定数関数のときには $$ \Phi(t;x,y) = F_0 + H_0 t, $$ $f(x, y) = F_n Y_n(y) X_n(x)$, $h(x, y) = H_n Y_n(y) X_n(x)$ のとき $$ \Phi(t;x,y) = (F_n \cos (\omega_n t) + \frac{H_n}{\omega_n} \sin (\omega_n t)) Y_n(y) X_n(x) $$ という特解が得られた. ただし, \[ X_n(x) = \frac{1}{\sqrt{L}}e^{i\mu_n x},\quad \mu_n = \frac{2n\pi}{L}, \tag{7} \] \[ Y_n(y) = \cosh(\mu_n y)+\theta_n\sinh(\mu_n y), \tag{8} \] \[ \theta_n = \frac{\sinh(\mu_n d)+G\mu_n\cosh(\mu_n d)}{\cosh(\mu_n d)+G\mu_n\sinh(\mu_n d)}, \tag{9} \] \[ \omega_n = \sqrt{g\mu_n \theta_n} \tag{10} \] とおいた.

(1)--(6) を満たす解は, これらの特解の線形結合, すなわち \[ \Phi(t; x, y) = (F_0 + H_0t) X_0(x) + \sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} \left(F_n\cos(\omega_n t)+\frac{H_n}{\omega_n}\sin(\omega_n t)\right) Y_n(y) X_n(x) \tag{11} \] で表されると予想される. しかしこの無限和がどの位相で収束し, その極限が (1)--(6) を満たすかどうかを議論することは困難であった. そこで, 適当な仮定下での無限和 (11) の一様収束および項別微分可能性について論じる.

無限和 (11) の収束

まず, (8) 式に (9) 式を代入すると \[ Y_n(y) = \frac{\cosh(\mu_n(d + y)) + G \mu_n \sinh(\mu_n(d + y))}{\cosh(\mu_n d) + G \mu_n \sinh(\mu_n d)} \tag{12} \] となる. この表式を踏まえて, $Y_0(y) = 1$ としておく. また, 双曲線関数 $\sinh$, $\cosh$ の偶奇性と $\mu_{-n} = - \mu_n$ に着目すると, $\theta_{-n} = \theta_n$, $Y_{-n}(y) = Y_n(y)$ となる. さらに $t > 0$ において $\cosh t$, $\sinh t$ が正で単調増大することに注意すると, 次の補題が得られる.

各 $n \in \mathbb{Z}$ に対して, 区間 $[-d, 0]$ 上の関数 $Y_n$ を (12) 式で定義する. このとき, ある定数 $C > 0$ が存在して, 任意の $n \in \mathbb{Z}$ と任意の $y_0 \in [-d, 0]$ に対して $$ \max_{y \in [-d, y_0]} |Y_n(y)| = Y_n(y_0) \leq C e^{|\mu_n| y_0} $$ が成り立つ.

補題1. に現れる定数 $C$ が $n$ に依存しないことを見るためには, 以下の補題3. のような評価が必要である.

$m \in \mathbb{N}$ とする. (12) 式で定義される関数 $Y_n$ について, ある定数 $C > 0$ が存在して, 任意の $n \in \mathbb{Z}$ と任意の $y_0 \in [-d, 0]$ に対して $$ \max_{y \in [-d, y_0]} |Y_n^{(2m)}(y)| = Y_n^{(2m)}(y_0) = \mu_n^{2m} Y_n(y_0) \leq C \mu_n^{2m} e^{|\mu_n| y_0} $$ が成り立つ.

(12) 式より, 関数 $Y_n$ について \[ Y_n^{(2m)}(y) = \mu_n^{2m} Y_n(y) \tag{13} \] が成り立つ. よって, 補題1. より結論が得られる.

$\Box$

同様にして, 1階導関数 $Y_n'$ についても評価が得られる.

(12) 式で定義される関数 $Y_n$ について, ある定数 $C > 0$ が存在して, 任意の $n \in \mathbb{Z}$ と任意の $y_0 \in [-d, 0]$ に対して $$ \max_{y \in [-d, y_0]} |Y_n'(y)| = Y_n'(y_0) \leq C |\mu_n| e^{|\mu_n| y_0} $$ が成り立つ.

(12) 式より, \[ Y_n'(y) = \mu_n \frac{\sinh(\mu_n(d + y)) + G \mu_n \cosh(\mu_n(d + y))}{\cosh(\mu_n d) + G \mu_n \sinh(\mu_n d)} \] が成り立つ. あとは補題1. の証明と同様の議論をすればよい.

$\Box$

(13) 式と補題2. から次の系が従う.

$m \in \mathbb{N}$ とする. (12) 式で定義される関数 $Y_n$ について, ある定数 $C > 0$ が存在して, 任意の $n \in \mathbb{Z}$ と任意の $y_0 \in [-d, 0]$ に対して $$ \max_{y \in [-d, y_0]} |Y_n^{(2m-1)}(y)| = Y_n^{(2m-1)}(y_0) = \mu_n^{2(m-1)} Y_n'(y_0) \leq C |\mu_n|^{2m-1} e^{|\mu_n| y_0} $$ が成り立つ.

(8) 式で定義される定数 $\theta_n$ について, $$ \overline{\theta} := \sup_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} |\theta_n| < \infty $$ が成り立つ.

$\theta_{-n} = - \theta_n$ より, $n > 0$ における $\theta_n$ の上限を考えれば十分である. 今, $z = \mu_n$ とおき, 関数 $$ \theta(z) := \frac{\sinh(dz) + Gz \cosh(dz)}{\cosh(dz) + Gz \sinh(dz)} $$ の $z > 0$ における上限を考える. 明らかに関数 $\theta(z)$ は半区間 $(0, \infty)$ 上の連続関数である. また, $$ \lim_{z \downarrow 0} \theta(z) = 0, \quad \lim_{z \rightarrow \infty} \theta(z) = 1 $$ であるから, $$ 1 \leq \sup_{z > 0} |\theta(z)| < \infty $$ が成り立つ. したがって, $$ \overline{\theta} = \sup_{n \in \mathbb{N}} |\theta(\mu_n)| \leq \sup_{z > 0} |\theta(z)| < \infty $$ が成り立つ.

$\Box$

関数 $\theta(z)$ の挙動については, もう少し詳しいことが分かる. $\theta(z)$ を微分すると, $$ \theta'(z) = \frac{d + G - G^2 d z^2}{(\cosh(dz) + Gz \sinh(dz))^2} $$ が得られる. よって, $$ z_* := \sqrt{\frac{d + G}{G^2d}} = \frac{1}{G} \sqrt{1 + \frac{G}{d}} $$ とおけば, 関数 $\theta(z)$ は区間 $(0, z_*)$ で単調増加し, 区間 $(z_*, \infty)$ で単調減少することが分かる. 特に, $$ \sup_{z > 0} |\theta(z)| = \max_{z > 0} \theta(z) = \theta (z_*) > \lim_{z \rightarrow \infty} \theta(z) = 1 $$ である. また, この評価から $\overline{\theta} > 1$ であることも分かる.

補題3. の証明から, 次の評価も得られる.

(8) 式で定義される定数 $\theta_n$ について, $$ \underline{\theta} := \inf_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} |\theta_n| = \min \{ \theta_1, 1 \} > 0 $$ が成り立つ.

以上の準備を踏まえて, 無限和 (11) の収束および項別微分可能性を議論する.

無限和 (11) の係数 $F_n$, $H_n$ が \[ \sum_{n \in \mathbb{Z}} |F_n| < \infty, \quad \sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} |H_n| |n|^{-1/2} < \infty \tag{14} \] を満たすと仮定する. このとき, 無限和 (11) は $[0, T] \times \overline{\Omega}$ 上絶対一様収束する.

$|\omega_n| \geq \sqrt{2 \pi g \underline{\theta} n/L}$ であるから, これにより, \begin{align*} &\sup_{(t, x, y) \in [0, T] \times \overline{\Omega}} \left| (F_0 + H_0t) X_0(x) + \sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} \left(F_n\cos(\omega_n t)+\frac{H_n}{\omega_n}\sin(\omega_n t) \right) Y_n(y) X_n(x) \right|\\ \leq& \frac{1}{\sqrt{L}} \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} |F_n| + |H_0| T + \sqrt{\frac{L}{2\pi g \underline{\theta}}} \sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} |H_n| |n|^{-1/2} \right) < \infty \end{align*} である. よって, 無限和 (11) は $[0, T] \times \overline{\Omega}$ 上一様絶対収束する.

$\Box$

無限和 (11) の係数 $F_n$, $H_n$ が仮定 (14) を満たすとき, 無限和 (11) で定義される $\Phi(t; x, y)$ は $[0, T] \times \overline{\Omega}$ 上連続である.

無限和 (11) の係数 $F_n$, $H_n$ が仮定 (14) を満たすとする. このとき, 任意の $y_0 \in (-d, 0)$ に対して, 無限和 (11) は $[0, T] \times [0, L] \times [-d, y_0]$ で $C^\infty$ 級である.

$y_0 \in (-d, 0)$ を1つ取り, $\Omega_{y_0} \equiv \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 0 < x < L, -d < y < y_0 \}$ とする.

まずは $t$ についての項別微分可能性を確認する. 無限和 (11) を $t$ について $k$ 回形式的に項別微分すると, $$ \frac{\partial^k \Phi}{\partial t^k}(t; x, y) = \sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} \left( \omega_n^k F_n \cos^{(k)}(\omega_n t) + \omega_n^{k - 1} H_n \sin^{(k)}(\omega_n t) \right) Y_n(y) X_n(x) $$ が得られる. $|\omega_n| \leq \sqrt{2 \pi g \overline{\theta} n/L}$ に注意してこの右辺を評価すると, 補題1. より \begin{align*} &\sup_{(t, x, y) \in [0, T] \times \overline{\Omega_{y_0}}} \left| \sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} \left( \omega_n^k F_n \cos^{(k)}(\omega_n t) + \omega_n^{k - 1} H_n \sin^{(k)}(\omega_n t) \right) Y_n(y) X_n(x) \right|\\ \leq& C_k \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} |F_n| |n|^{k/2} e^{ |\mu_n| y_0} + \sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} |H_n| |n|^{(k-1)/2} e^{ |\mu_n| y_0}\right) < \infty \end{align*} と評価される. ただし, $C_k$ は $k$ に依存する定数である. したがって, 無限和 (11) は $[0, T] \times \overline{\Omega_{y_0}}$ において $t$ について $k$ 回項別微分可能であり, 偏導関数 $\frac{\partial^k \Phi}{\partial t^k}$ も $[0, T] \times \overline{\Omega_{y_0}}$ 上連続である.

(11) を $x$ について $k$ 回項別微分を施すと, $$ \frac{\partial^k \Phi}{\partial x^k}(t; x, y) = i^k \sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} \mu_n^k \left( F_n \cos (\omega_n t) + \frac{H_n}{\omega_n} \sin(\omega_n t)\right) Y_n(y) X_n(x) $$ となるが, この右辺は \begin{align*} &\sup_{(t, x, y) \in [0, T] \times \overline{\Omega_{y_0}}} \left|i^k \sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} \mu_n^k \left( F_n \cos (\omega_n t) + \frac{H_n}{\omega_n} \sin(\omega_n t)\right) Y_n(y) X_n(x) \right|\\ \leq& C_k \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} |F_n| |n|^k e^{|\mu_n| y_0} + \sum_{n \in \mathbb{Z}} |H_n| |n|^{k - 1/2} e^{|\mu_n| y_0} \right) < \infty \end{align*} と評価される. したがって, 無限和 (11) は $x$ について $k$ 回項別微分可能で, 偏導関数 $\frac{\partial^k \Phi}{\partial x^k}$ は $[0, T] \times \overline{\Omega_{y_0}}$ 上連続である.

最後に, $y$ についての項別微分可能性を確認する. 無限和 (11) を $y$ について $k$ 回項別微分を施すと, $$ \frac{\partial^k \Phi}{\partial y^k}(t; x, y) = \sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} \left( F_n \cos (\omega_n t) + \frac{H_n}{\omega_n} \sin(\omega_n t)\right) Y_n^{(k)}(y) X_n(x) $$ となるが, この右辺は系1. および系2. より \begin{align*} &\sup_{(t, x, y) \in [0, T] \times \overline{\Omega_{y_0}}} \left| \sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} \left( F_n \cos (\omega_n t) + \frac{H_n}{\omega_n} \sin(\omega_n t)\right) Y_n^{(k)}(y) X_n(x) \right|\\ \leq& C_k \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} |F_n| |n|^k e^{|\mu_n| y_0} + \sum_{n \in \mathbb{Z}} |H_n| |n|^{k - 1/2} e^{|\mu_n| y_0} \right) < \infty \end{align*} と評価される. したがって, 無限和 (11) は $[0, T] \times \overline{\Omega_{y_0}}$ において $y$ について $k$ 回項別微分可能で, 偏導関数 $\frac{\partial^k \Phi}{\partial y^k}$ は $[0, T] \times \overline{\Omega_{y_0}}$ 上連続である.

以上より, 仮定 (14) の下で無限和 (11) は $t$, $x$, $y$ のそれぞれについて $[0, T] \times \overline{\Omega_{y_0}}$ で任意有限回偏微分可能であり, 偏導関数は $[0, T] \times \overline{\Omega_{y_0}}$ 上連続である. $\frac{\partial^2 \Phi}{\partial t \partial x}$ のような他の偏導関数についても同様に議論されるので, 無限和 (11) は $[0, T] \times \overline{\Omega_{y_0}}$ で $C^\infty$ 級である.

$\Box$

係数 $F_n$, $H_n$ について, 簡単のために (14) を仮定したが, 定理2. の証明においてはこの仮定を緩めることができる. 任意の $k \in \mathbb{N}$ と任意の $y_0 \in (-d, 0)$ に対して, $$ \sum_{n \in \mathbb{Z}} |F_n| |n|^k e^{|\mu_n| y_0} < \infty, \quad \sum_{n \in \mathbb{Z}} |H_n| |n|^{k - 1/2} e^{|\mu_n| y_0} < \infty $$ が成り立てば十分である.

無限和 (11) の係数 $F_n$, $H_n$ が \[ \sum_{n \in \mathbb{Z}} |F_n| |n| < \infty, \quad \sum_{n \in \mathbb{Z}} |H_n| |n|^{1/2} < \infty \tag{15} \] を満たすと仮定する. このとき, 無限和 (11) は $[0, T] \times \overline{\Omega}$ 上で $t$ について2回, $y$ について1回項別微分可能で, 偏導関数 $\frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2}$ および $\frac{\partial \Phi}{\partial y}$ は $[0, T] \times \overline{\Omega}$ 上連続である.

係数 $F_n$, $H_n$ が条件 (15) を満たすならば, これらの係数は条件 (14) も満たす.

定理2. の証明において, $k = 2$ として \begin{align*} &\frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2}(t; x, y) = -\sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} \left( \omega_n^2 F_n \cos(\omega_n t) + \omega_n H_n \sin(\omega_n t) \right) Y_n(y) X_n(x),\\ &\sup_{(t, x, y) \in [0, T] \times \overline{\Omega}} \left| -\sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} \left( \omega_n^2 F_n \cos(\omega_n t) + \omega_n H_n \sin(\omega_n t) \right) Y_n(y) X_n(x) \right|\\ \leq& C \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} |F_n| |n| + \sum_{n \in \mathbb{Z}} |H_n| |n|^{1/2} \right) < \infty \end{align*} を得る. また, $k = 1$ として \begin{align*} &\frac{\partial \Phi}{\partial y}(t; x, y) = \sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} \left( F_n \cos (\omega_n t) + \frac{H_n}{\omega_n} \sin(\omega_n t)\right) Y_n'(y) X_n(x),\\ &\sup_{(t, x, y) \in [0, T] \times \overline{\Omega}} \left| \sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} \left( F_n \cos (\omega_n t) + \frac{H_n}{\omega_n} \sin(\omega_n t)\right) Y_n'(y) X_n(x) \right|\\ \leq& C \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} |F_n| |n| + \sum_{n \in \mathbb{Z}} |H_n| |n|^{1/2} \right) < \infty \end{align*} を得る. したがって, 無限和 (11) は $[0, T] \times \overline{\Omega}$ 上で $t$ について2回, $y$ について1回項別微分可能で, 偏導関数 $\frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2}$ および $\frac{\partial \Phi}{\partial y}$ は $[0, T] \times \overline{\Omega}$ 上連続である.

$\Box$

以下では, 仮定 (14) および (15) の妥当性について論じる. 無限和 (11) において $t = y = 0$ を代入すると, $$ \Phi(0; x, 0) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} F_n X_n(x) $$ が得られる. 一方で, 初期条件より $\Phi(0; x, 0) = f(x, 0)$ である. よって, $$ f(x, 0) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} F_n X_n(x) $$ が成り立つ. すなわち, 無限和 (11) に現れる係数 $F_n$ は, 初期値 $f$ の $y = 0$ における $x$ についての Fourier 係数である. ここで, 整合条件 $f(\cdot, y) \in C^2_\#(0, L), y \in [-d, 0]$ を思い出すと, \[ |F_n| \leq \frac{\|\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(\cdot, 0)\|_{L^1(0, L)}}{|n|^2} \tag{16} \] が成り立つ. 同様に, \[ |H_n| \leq \frac{\|\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}(\cdot, 0)\|_{L^1(0, L)}}{|n|^2} \tag{17} \] も成り立つ. よって, \begin{align*} &\sum_{n \in \mathbb{Z}} |F_n| \leq |F_0| + \left\| \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(\cdot, 0) \right\|_{L^1(0, L)} \sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} \frac{1}{|n|^2}&\lt; \infty,\\ &\sum_{n \in \mathbb{Z}} |H_n| |n|^{-1/2} \leq \left\| \frac{\partial^2 h}{\partial x^2}(\cdot, 0) \right\|_{L^1(0, L)} \sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} \frac{1}{|n|^{5/2}} < \infty \end{align*} となり, 仮定 (14) を満たすことは確認できる. ところが, 評価式 (16) および (17) からだけでは, 係数 $F_n$ と $H_n$ が仮定 (15) を満たすかどうかは判断できない.

関数 $f \in C^m_\# (0, L)$ について, $f_n$ で $f$ の第 $n$ Fourier モードを表すとすると, 導関数 $f^{(m)}$ が連続率 $\omega$ を持つならば, $$ |f_n| \leq \frac{\omega(2 \pi /L n)}{|n|^m} $$ が成り立つ. このことから, 初期値 $f$, $h$ が仮定 (15) を満たすようにするためには, $f(\cdot, 0)$, $h(\cdot, 0)$ が $C^{2, \alpha}$ 級のように $C^2$ 級より滑らかである必要がある.

参考文献

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森光太朗, ポテンシャル流を用いた反砂堆現象の数理モデルとその解析, 京都大学大学院情報学研究科修士論文, 2021.