\(L>0\), \(d>0\), \(T>0\) として次の領域 \begin{align*} &\Omega \equiv \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid 0 < x < L,\ -d <y < 0\},\\ &\Gamma_1 \equiv \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid 0\le x\le L,\ y=0\},\\ &\Gamma_2 \equiv \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid 0\le x\le L,\ y=-d\}, \end{align*} を定め, 以下の初期値境界値問題を考察する: \[ \Phi(t;\cdot,y) \in C^2_\#(0,L), t\in[0,T],\ y\in[-d,0], \tag{1} \] \[ \Delta \Phi(t;x,y)=0, (x,y)\in \Omega,\ t \in (0,T), \tag{2} \] \[ \frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2}(t;x,y) + g \frac{\partial \Phi}{\partial y}(t;x,y) = 0, (x,y)\in \Gamma_1,\ t \in (0,T), \tag{3} \] \[ \frac{\partial \Phi}{\partial y}(t;x,y) + G \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2}(t;x-\delta,y) =0, (x,y)\in \Gamma_2,\ t \in (0,T) \tag{4} \] \[ \Phi(0;x,y)=f(x,y), (x,y)\in\Omega, \tag{5} \] \[ \frac{\partial \Phi}{\partial t}(0;x,y)=h(x,y), (x,y)\in\Omega. \tag{6} \] ただし, 初期値 \(f\), \(h\) は次の整合条件を満たすものとする: \(f,h\in C^2(\overline{\Omega})\) は \(\Omega\) 上の調和関数であり, \[ f(\cdot,y), h(\cdot,y) \in C^{2}_{\#}(0,L), y\in[-d,0], \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} + G \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x-\delta,y) =0, (x,y)\in \Gamma_2, \] \[ \frac{\partial h}{\partial y} + G \frac{\partial^2 h}{\partial x^2}(x-\delta,y) =0, (x,y)\in \Gamma_2 \] を満たす.
この問題の解の時間発展を論じるため, 変数 \(x\) に関する周期性を利用して Fourier 級数展開し, 各モードに対して考察を行う. \(n \in \mathbb{Z}\) に対して $$ X_n(x) = \frac{1}{\sqrt{L}}e^{i\mu_n x},\quad \mu_n = \frac{2n\pi}{L} $$ とし, 式 (2)--(6) および式 (8)--(9) に \(\overline{X_n(x)}\) を乗じて \(x\) に関して区間 \((0, L)\) で積分することにより, 各 \(X_n\) の係数に対する偏微分方程式を導出する. 以下では次の記号を用いて方程式を記述する: \begin{align*} &\Phi_n(t,y) = \int_0^L \Phi(t;x,y)\overline{X_n(x)}\,dx,\\ &f_n(y) = \int_0^L f(x,y)\overline{X_n(x)}\,dx,\\ &h_n(y) = \int_0^L h(x,y)\overline{X_n(x)}\,dx \end{align*}
以上の準備により, 初期値境界値問題は \[ \frac{\partial^2 \Phi_n}{\partial y^2}(t,y) = \mu_n^2 \Phi_n(t,y), t\in(0,T),\ y\in(-d,0), \tag{10} \] \[ \frac{\partial^2 \Phi_n}{\partial t^2}(t,y) + g \frac{\partial \Phi_n}{\partial y}(t,y)=0, t\in(0,T),\ y=0, \tag{11} \] \[ \frac{\partial \Phi_n}{\partial y}(t,y) - G\mu_n^2 e^{-i \mu_n \delta} \Phi_n(t,y)=0, t\in(0,T),\ y=-d, \tag{12} \] \[ \Phi_n(0,y) = f_n(y), y\in(-d,0), \tag{13} \] \[ \frac{\partial \Phi_n}{\partial t}(0,y) = h_n(y), y\in(-d,0) \tag{14} \] となる. また \(f_n\), \(h_n\) の満たす整合条件は \[ \frac{d^2 f_n}{dy^2}(y)=\mu_n^2 f_n(y),\, y\in(-d,0), \tag{15} \] \[ \frac{d^2 h_n}{dy^2}(y)=\mu_n^2 h_n(y),\, y\in(-d,0), \tag{16} \] \[ \frac{d f_n}{dy}(-d) - G\mu_n^2 e^{-i \mu_n \delta} f_n(-d)=0,\tag{17} \] \[ \frac{d h_n}{dy}(-d) - G\mu_n^2 e^{-i \mu_n \delta} h_n(-d)=0 \tag{18} \] と書き下される. このとき, 整合条件 (15)--(18) を満たす \(f_n\), \(h_n\) に対して, (10)--(14) を満たす関数 \(\Phi_n\) を求めることが問題となる.
\(n = 0\) のときは, \(f_0 = F_0\), \(h_0 = H_0\) (定数) の場合に限り (10)--(14) の解が存在し, その解は $$ \Phi_0(t; x, y) = F_0 + H_0 t $$ と表される.
\(n \neq 0\) のときは, 整合条件 (15) より, 任意定数 \(f_{n, 0}\), \(f_{n, 1}\) を用いて $$ f_n(y) = f_{n, 0} \cosh(\mu_n y) + f_{n, 1} \sinh(\mu_n y) $$ と表される. また, (17) から $$ \mu_n (-f_{n, 0} \sinh(\mu_n d) + f_{n, 1} \cosh(\mu_n d)) = G \mu_n^2 e^{- i \mu_n \delta} (f_{n, 0} \cosh(\mu_n d) - f_{n, 1} \sinh(\mu_n d)) $$ が成立する. この式を \(f_{n, 0}\), \(f_{n ,1}\) について整理すると, \[ f_{n, 0} (\sinh(\mu_n d) + G \mu_n^2 e^{- i \mu_n \delta} \cosh(\mu_n d)) = f_{n, 1} (\cosh(\mu_n d) + G \mu_n^2 e^{- i \mu_n \delta} \sinh(\mu_n d)) \tag{19} \] が得られる. \(\mu_n \delta \notin \mathbb{Q}\) の時には $$ \cosh(\mu_n d) + G \mu_n^2 e^{- i \mu_n \delta} \sinh(\mu_n d) \neq 0 $$ であるので, これで両辺を除すと $$ \theta_n f_{n, 0} = f_{n, 1} $$ となる. ただし, $$ \theta_n \equiv \frac{\sinh(\mu_n d) + G \mu_n^2 e^{- i \mu_n \delta} \cosh(\mu_n d)}{\cosh(\mu_n d) + G \mu_n^2 e^{- i \mu_n \delta} \sinh(\mu_n d)} \neq 0 $$ である. \(\mu_n \delta \in \mathbb{Q}\) の時には \(\theta_n\) の分母が0になり得るが, 分母が0になるための \(n\), \(d\), \(\delta\), \(G\) の関係を明らかにするのは困難であるため, ここでは議論しない. この \(\theta_n\) を用いて $$ Y_n(y) \equiv \cosh(\mu_n y) + \theta_n \sinh(\mu_n y) $$ と定めると, 双曲線関数の加法定理より \[ Y_n(y) = \frac{\cosh(\mu_n(y + d)) + G \mu_n e^{-i \mu_n \delta} \sinh(\mu_n(y + d))}{\cosh(\mu_n d) + G \mu_n e^{-i \mu_n \delta} \sinh(\mu_n d)} \tag{20} \] となる. また, $$ f_n(y) = f_{n, 0} Y_n(y) $$ と書ける. \(h_n\) についても同様の計算を行えば, 任意定数 \(h_{n, 0}\) を用いて $$ h_n(y) = h_{n, 0} Y_n(y) $$ と表せる.
以上の考察で整合条件 (15)--(18) を満たす関数 \(f_n\), \(h_n\) が求められたので, この結果を用いて以下では \(n \neq 0\) のときの (10)--(14) を満たす関数 \(\Phi_n\) について考察する.
方程式 (10) は, \(t\) をパラメタとする \(y\) についての二階常微分方程式と見なすことにより, その一般解は \(A_n\), \(B_n\) を任意定数として $$ \Phi_n(t, y) = T_n(t) (A_n \cosh(\mu_n y) + B_n \sinh(\mu_n y)) $$ によって与えられる. したがって, (12) より $$ T_n(t) \mu_n (-A_n \sinh(\mu_n d) + B_n \cosh(\mu_n d)) = T_n(t) G \mu_n^2 e^{- i \mu_n \delta} (A_n \cosh(\mu_n d) - B_n \sinh(\mu_n d)) $$ が得られる.
\(T_n(t) = 0\) のときは \(\Phi_n(t, y) = 0\) となり, これの初期条件を考えれば \(f_n(y) = h_n(y) = 0\) が従う. よって, \(f_n\) と \(h_n\) の少なくとも一方が恒等的に0でない場合は \(T_n\) も恒等的に0ではない. このとき, 上式の両辺を \(T_n\) で除せば $$ \mu_n (-A_n \sinh(\mu_n d) + B_n \cosh(\mu_n d)) = G \mu_n^2 e^{- i \mu_n \delta} (A_n \cosh(\mu_n d) - B_n \sinh(\mu_n d)) $$ となるが, これを整理して \(\theta_n A_n = B_n\) が得られ, (20) で表される関数 \(Y_n\) を用いると $$ \Phi_n(t, y) = A_n T_n(t) Y_n(y) $$ が得られる.
最後に \(Y_n(0) = 1\), \(\frac{d Y_n}{d y}(0) = \mu_n \theta_n\) であることに注意すると, (11) より \(T_n\) に関しての常微分方程式 \[ \label{eq:Tn} \frac{d^2 T_n}{d t^2}(t) = -g \mu_n \theta_n T_n(t) \] が得られる. 常微分方程式 (11) の一般解は \(C_1\), \(C_2\) を任意定数として $$ T_n(t) = C_1 e^{\sqrt{-g \mu_n \theta_n} t} + C_2 e^{-\sqrt{-g \mu_n \theta_n} t} $$ と表される. ただし, \(z \in \mathbb{C}\) に対して \(z\) の偏角 \(\arg z\) を \(\arg z \in (-\pi, \pi]\) と制限し, \(z\) の平方根 \(\sqrt{z}\) を $$ \sqrt{z} := |z|^{1/2} e^{i (\arg z)/2} $$ で定義する.
初期条件 (13)--(14) から \begin{align*} \Phi_n(0, y) =& A_n T_n(0) Y_n(y) = f_n(y) = f_{n, 0} Y_n(y),\\ \frac{\partial \Phi}{\partial t}(0, y) =& A_n \frac{d T_n}{d t}(0) Y_n(y) = h_n(y) = h_{n, 0} Y_n(y) \end{align*} であるので, 連立方程式 $$ \begin{cases} A_n(C_1 + C_2) = f_{n, 0},\\ A_n \sqrt{- g \mu_n \theta_n}(C_1 - C_2) = h_{n, 0} \end{cases} $$ が得られる. これを解くと $$ A_n C_1 = \frac{1}{2} \left( f_{n, 0} + \frac{h_{n, 0}}{\sqrt{- g \mu_n \theta_n}} \right), \quad A_n C_2 = \frac{1}{2} \left( f_{n, 0} - \frac{h_{n, 0}}{\sqrt{- g \mu_n \theta_n}} \right) $$ となり, これを代入すれば $$ \Phi_n(0, y) = \frac{1}{2} \left( f_{n, 0} + \frac{h_{n, 0}}{\sqrt{- g \mu_n \theta_n}} \right) e^{\sqrt{- g \mu_n \theta_n} t} Y_n(y) + \frac{1}{2} \left( f_{n, 0} - \frac{h_{n, 0}}{\sqrt{- g \mu_n \theta_n}} \right) e^{-\sqrt{- g \mu_n \theta_n} t} Y_n(y) $$ が得られる.
以上の議論から, \(\Phi_n\) の時間発展の解析は指数 \(\pm \sqrt{- g \mu_n \theta_n}\) の実部の解析に帰着されることが分かる. \(- g \mu_n \theta_n\) が負の実数であるとき, \(\pm \sqrt{- g \mu_n \theta_n}\) のどちらも正の実部を持たず, \(\Phi_n\) は \(t\) に関して一様に有界である. また, \(- g \mu_n \theta_n\) が負の実数でない場合は \(\pm \sqrt{- g \mu_n \theta_n}\) のいずれか一方の実部が正であり, 初期値の係数 \(f_{n, 0}\), \(h_{n, 0}\) の取り方によっては \(\Phi_n\) は \(t\) について指数増大する.
ここで, $$ \theta_n = \frac{\sinh(\mu_n d) + G \mu_n e^{-i \mu_n \delta} \cosh(\mu_n d)}{\cosh(\mu_n d) + G \mu_n e^{-i \mu_n \delta} \sinh(\mu_n d)} $$ であることを思い出す. これを実部と虚部に分けて整理すると, \begin{align*} \Real \theta_n =& \frac{(1 + G^2 \mu_n^2) \sinh(2 \mu_n d) + 2 G \mu_n \cosh(2 \mu_n d) \cos(\mu_n \delta)}{(1 + G^2 \mu_n^2) \cosh(2 \mu_n d) + 2 G \mu_n \sinh(2 \mu_n d) \cos(\mu_n \delta) + 1 - G^2 \mu_n^2},\\ \Imag \theta_n =& \frac{G \mu_n \sin(\mu_n \delta)}{(1 + G^2 \mu_n^2) \cosh(2 \mu_n d) + 2 G \mu_n \sinh(2 \mu_n d) \cos(\mu_n \delta) + 1 - G^2 \mu_n^2} \end{align*} を得る. ここから, $$ \theta_{-n} = -\overline{\theta_n}, \quad \lim_{n \rightarrow \infty} \theta_n = 1, \quad \lim_{n \rightarrow -\infty} \theta_n = -1, \quad \lim_{n \rightarrow \pm \infty} \Imag \mu_n \theta_n = 0 $$ が分かる. すなわち, 絶対値が十分大きい \(n\) では \(\pm \sqrt{- g \mu_n \theta_n}\) は純虚数に ``近い'' ことが分かる.
\(\pm \sqrt{- g \mu_n \theta_n}\) が純虚数になるための必要条件は \(\theta_n\) の虚部が0であること, すなわちある \(m \in \mathbb{Z}\) が存在して $$ \mu_n \delta = \frac{2 n \pi}{L} \delta = m \pi $$ が成立することである. よって, \(\delta/L\) が有理数ならば, ある正の整数 \(k\) が存在して, \(n\) が \(k\) の倍数のときかつそのときに限り \(\theta_n\) の虚部が0となる. また, \(\delta/L\) が無理数の場合は任意の \(n\) に対して \(\theta_n\) の虚部は0とならない.
以上より, \(\delta > 0\) のときは時間発展により解 \(\Phi_n\) が指数増大するようなモード \(n\) が存在することが分かる.