L^p 空間の双対性

$(\GO, \Mcal, \Gm)$ を測度空間とし, $\GO$ は $\Gs$ 有限であるとする. $1 \leq p < \infty$ に対し, \begin{align*} L^p(\GO) :=& \{ f: \GO \rightarrow \Rbb \mid \| f \|_{L^p(\GO)} < \infty \},\\ \| f \|_{L^p(\GO)} :=& \left( \int_\GO |f(x)|^p\,d\Gm \right)^{1/p} \end{align*} とする. また, \begin{align*} L^\infty(\GO) :=& \{ f: \GO \rightarrow \Rbb \mid \| f \|_{L^\infty(\GO)} < \infty \},\\ \| f \|_{L^\infty(\GO)} :=& \inf \{ C \geq 0 \mid |f(x)| \leq C \mbox{ on a.e. } \GO \} \end{align*} とする. 関数空間 $L^p(\GO)$ の双対空間 $L^p(\GO)^*$ について考察する.

作用素 $T: L^{p'}(\GO) \rightarrow L^p(\GO)^*$ を $$ \la Tu, f \ra = \int_\GO u f \,d\Gm, \quad u \in L^{p'}(\GO), f \in L^p(\GO) $$ で定義する. Hölder の不等式より $$ | \la Tu, f \ra | \leq \| u \|_{L^{p'}(\GO)} \| f \|_{L^p(\GO)} $$ であるから, $\| Tu \|_{L^p(\GO)^*} \leq \| u \|_{L^{p'}(\GO)}$ である. よって, 作用素 $T$ は有界線型作用素である. また, $$ f(x) = \begin{cases} 0, &u(x) = 0,\\ |u(x)|^{p' - 2} u(x), &otherwise \end{cases} $$ とおくと, \begin{align*} \int |f(x)|^p\,d\Gm =& \int_\GO |u(x)|^{p'}\,d\Gm < \infty,\\ \int_\GO u f \,d\Gm =& \| u \|_{L^{p'}(\GO)}^{p'} \end{align*} が成り立つ. よって, $$ \| Tu \|_{L^p(\GO)^*} \geq \frac{\int_\GO uf\,d\Gm}{\| f \|_{L^p(\GO)}} = \| u \|_{L^{p'}(\GO)} $$ である. 以上より, $\| Tu \|_{L^p(\GO)^*} = \| u \|_{L^{p'}(\GO)}$ である.

この等式により, 作用素 $T$ は単射である. 以下では, 作用素 $T$ が全射であることを見る.

まず, $\Gm(\GO) < \infty$ の場合について考察する. $\Gf \in L^p(\GO)^*$ とする. $A$ を $\GO$ の可測集合とすると, $\Gc_A \in L^p(\GO)$ である. よって, 写像 $\Gv: \Mcal \rightarrow \Rbb$ を $$ \Gv(A) := \la \Gf, \Gc_A \ra $$ で定義することができる. このとき, $\Gf$ の線型性から $\Gv$ は可測空間 $(\GO, \Mcal)$ 上の符号付き測度となる. また, $\Gm(A) = 0$ のとき $L^p(\GO)$ の意味で $\Gc_A = 0$ が成り立つから, $\Gv(A) = 0$ である. すなわち, $\Gv$ は $\Gm$ に対して絶対連続である. よって, Radon-Nikodym の定理より, $\GO$ 上のある可測関数 $u$ が存在して, 任意の $A \in \Mcal$ に対して $$ \Gv(A) = \la \Gf, \Gc_A \ra = \int_\GO u \Gc_A \,d\Gm $$ が成り立つ. $\Gf$ は $L^p(\GO)$ 上の有界線型汎関数であるから, $\GO$ 上の任意の単関数 $f$ に対して \[ \la \Gf, f \ra = \int_\GO u f\,d\Gm \tag{1} \] が成り立つ. さらに, $\GO$ 上の任意の単関数 $f$ について $$ \int_\GO |u f| \,d\Gm \leq \| \Gf \|_{L^p(\GO)^*} \| f \|_{L^p(\GO)} $$ が成り立つ.

ここで, $f$ として単関数 $\sgn u$ を取れば, $u \in L^1(\GO)$ であることが分かる. よって, 単調収束定理により任意の $f \in L^\infty(\GO)$ に対して等式 (1) および $$ \int_\GO |u f| \,d\Gm \leq \| \Gf \|_{L^p(\GO)^*} \| f \|_{L^p(\GO)} $$ が成り立つ.

次に, $u \in L^{p'}(\GO)$ であることを示す. $\{ u_n \}$ を $u$ に概収束する単関数列であって, 任意の $n$ について $|u_n| \leq |u|$ を満たすものとする. この関数列 $\{ u_n \}$ に対して $$ f_n := \left( \sgn u \right) \left( \frac{|u_n|}{\| u_n \|_{L^{p'}(\GO)}} \right)^{p'/p} $$ とおく. このとき, 各 $n$ に対して $f_n \in L^\infty(\GO)$ であって, $\| f_n \|_{L^p(\GO)} = 1$ である. さらに, $u f_n = |u f_n|$ かつ $$ \int_\GO |u_n f_n|\,d\Gm = \| u_n \|_{L^{p'}(\GO)} $$ である. これらを踏まえると, Fatou の補題より $$ \| u \|_{L^{p'}(\GO)} \leq \liminf_{n \rightarrow \infty} \| u_n \|_{L^{p'}(\GO)} = \liminf_{n \rightarrow \infty} \int_\GO |u_n f_n|\,d\Gm \leq \liminf_{n \rightarrow \infty} \int_\GO |u f_n|\,d\Gm \leq \| \Gf \|_{L^p(\GO)^*} $$ が成り立つ. したがって, $u \in L^{p'}(\GO)$ である.

単関数は $L^p(\GO)$ で稠密であるから, Hölder の不等式より等式 (1) が任意の $f \in L^p(\GO)$ に対して成り立つ. これにより $\Gf = Tu$, すなわち作用素 $T$ が全射であることが分かった.

$\GO$ が $\Gs$ 有限の場合は, $\Gm(\GO_n) < \infty$, $\GO = \cup_{n} \GO_n$ を満たす単調増大列 $\{ \GO_n \}$ を取る. $f \in L^p(\GO)$ に対して $f_n := \Gc_{\GO_n} f$ と定めると, $f_n \in L^p(\GO_n)$ であるから先の議論により $$ \la \Gf, f_n \ra = \int_{\GO_n} u_n f_n\,d\Gm $$ を任意の $f_n \in L^p(\GO_n)$ に対して満たす関数 $u_n \in L^{p'}(\GO_n)$ が一意に存在する. 各 $n$ について $\GO \backslash \GO_n$ では $0$ となるように $u_n$ を延長しておけば, $u_n \in L^{p'}(\GO)$ であって, 任意の $m \geq n$ に対して $|u_m| \geq |u_n|$ である. また, $$ \int_\GO |u_n f_n|\,d\Gm \leq \| \Gf \|_{L^p(\GO)^*} \| f_n \|_{L^p(\GO_n)} \leq \| \Gf \|_{L^p(\GO)^*} \| f \|_{L^p(\GO)} $$ であるから, $\| u_n \|_{L^{p'}(\GO)} \leq \| \Gf \|_{L^p(\GO)^*}$ である. よって, 単調収束定理により, ある $u \in L^{p'}(\GO)$ が存在して, 任意の $f \in L^p(\GO)$ に対して $$ \la \Gf, f \ra = \int_{\GO} u f\,d\Gm $$ が成り立つ. したがって, $\GO$ が $\Gs$ 有限の場合にも作用素 $T$ は全射である.

$\Box$

$1 < p < \infty$ のとき $1 < p' < \infty$ でもあるから, 定理1. を2回適用して $$ L^p(\GO)^{**} = L^{p'}(\GO)^* = L^p(\GO) $$ である.

$\Box$

$\GO$ は $\Gs$ 有限であるから, $\Gm(\GO_n) < \infty$, $\GO = \cup_{n} \GO_n$ を満たす単調増大列 $\{ \GO_n \}$ が取れる. この列に対して, $\Gc_n := \Gc_{\GO_n}$ とおく.

まずは定理の $u \in L^\infty(\GO)$ の一意性を示す. ある $u \in L^\infty(\GO)$ が存在して, 任意の $f \in L^1(\GO)$ に対して $$ \int_\GO u f\,d\Gm = 0 $$ が成り立つと仮定する. ここで $f = \Gc_n \sgn u$ とおけば, $f \in L^1(\GO)$ であり, $$ \int_{\GO_n} |u|\,d\Gm = 0 $$ が成り立つ. よって, $u$ は $\GO_n$ 上ほとんど至るところ $0$ である. $n$ は任意であったから, $u$ は $\GO$ 上ほとんど至るところ $0$ である. したがって, 一意性が示された.

次に定理の $u \in L^\infty(\GO)$ の存在を示す. $\{ \Ga_n \}$ を正の実数列とし, $\GO$ 上の関数 $\Gt(x)$ を $$ \theta(x) := \begin{cases} \Ga_1, &x \in \GO_1,\\ \Ga_n, &x \in \GO_n \backslash \GO_{n-1}, n \geq 2 \end{cases} $$ で定義する. このとき, $$ \Ga_1^2 \Gm(\GO_1) + \sum_{n = 2}^\infty \Ga_n^2 \Gm(\GO_n \backslash \GO_{n-1}) < \infty $$ を満たすように正の実数列 $\{ \Ga_n \}$ を取れば, $\Gt \in L^2(\GO)$ である. また, $x \in \GO_n$ のとき $\Gt(x) \geq \min_{1 \leq k \leq n} \Ga_k > 0$ である.

ここで, $J \in L^2(\GO)^*$ を $$ J(f) := \la \Gf, \Gt f \ra, \quad f \in L^2(\GO) $$ で定義する. このとき, 定理1. よりある $v \in L^2(\GO)$ が存在して, 任意の $f \in L^2(\GO)$ に対して \[ \la \Gf, \Gt f \ra = \int_\GO v f\,d\Gm \tag{2} \] が成り立つ.

$x \in \GO$ に対して $\Gt(x) > 0$ であることに注意して, $u(x) := v(x) / \Gt(x)$ とおく. このとき, 任意の $n$ について $u \Gc_n \in L^2(\GO)$ が成り立つ. また, $g \in L^\infty(\GO)$ に対して $f(x) = \Gc_n(x) g(x) / \Gt(x)$ とおくと, $f \in L^2(\GO)$ であるので, (2) より \[ \la \Gf, \Gc_n g \ra = \int_\GO u \Gc_n g\,d\Gm \tag{3} \] が成り立つ.

ここで, $$ A := \{ x \in \GO \mid |u(x)| > \| \Gf \|_{L^1(\GO)^*} \} $$ とおく. (3) で $g = \Gc_A \sgn u$ とおくと, 集合 $A$ の定義より $$ \| \Gf \|_{L^1(\GO)^*} \Gm(A \cap \GO_n) < \int_{A \cap \GO_n} |u|\,d\Gm \leq \| \Gf \|_{L^1(\GO)^*} \Gm(A \cap \GO_n) $$ が成り立つ. これにより $\Gm(A \cap \GO_n) = 0$ が任意の $n$ について成り立つ, すなわちほとんど至るところの $x \in \GO$ で $|u(x)| \leq \| \Gf \|_{L^1(\GO)^*}$ であることが分かる. したがって, $\| u \|_{L^\infty(\GO)} \leq \| \Gf \|_{L^1(\GO)^*}$ である.

$L^1(\GO)$ 上の打ち切り作用素 $T_n$ を $$ (T_n h)(x) := \begin{cases} h(x), &|h(x)| \leq n,\\ n h(x) / |h(x)|, &|h(x)| > n \end{cases} $$ で定義する. このとき, $T_n h \in L^\infty(\GO)$ であるから, (3) より任意の $h \in L^1(\GO)$ に対して $$ \la \Gf, \Gc_n T_n h \ra = \int_\GO u \Gc_n T_n h\,d\Gm $$ が成り立つ. 関数列 $\{ \Gc_n T_n h \}$ は $h$ に概収束し, 各 $n$ について $|\Gc_n T_n h| \leq |h|$ が成り立つから, 優収束定理より $n \rightarrow \infty$ で \begin{align*} &\la \Gf, \Gc_n T_n h \ra \rightarrow \la \Gf, h \ra,\\ &\int_\GO u \Gc_n T_n h\,d\Gm \rightarrow \int_\GO u h\,d\Gm \end{align*} が成り立つ. したがって, 任意の $h \in L^1(\GO)$ に対して $$ \la \Gf, h \ra = \int_\GO u h\,d\Gm $$ が成り立つ. 以上で定理の $u \in L^\infty(\GO)$ の存在が示された.

証明の途中で $\| u \|_{L^\infty(\GO)} \leq \| \Gf \|_{L^1(\GO)^*}$ であることを見たが, 任意の $h \in L^1(\GO)$ に対して $$ |\la \Gf, h \ra| \leq \int_\GO |u h|\,d\Gm \leq \| u \|_{L^\infty(\GO)} \| h \|_{L^1(\GO)} $$ であるから, $\| \Gf \|_{L^1(\GO)^*} \leq \| u \|_{L^\infty(\GO)}$ も成り立つ. よって, $\| u \|_{L^\infty(\GO)} = \| \Gf \|_{L^1(\GO)^*}$ である.

$\Box$

次で見るように, $L^\infty(\GO)^*$ は $L^1(\GO)$ と一般には一致しない. よって, $L^1(\GO)$ は一般に反射的 Banach 空間ではない.

$p = \infty$ の場合もこれまでと同様に $L^1(\GO) \subset L^\infty(\GO)^*$ が成り立つ. 実際, $u \in L^1(\GO)$ に対して, $$ \la Tu, f \ra := \int_\GO uf\,d\Gm, \quad f \in L^\infty(\GO) $$ で作用素 $T: L^1(\GO) \rightarrow L^\infty(\GO)^*$ が定義できる. また, これまでと同様に任意の $u \in L^1(\GO)$ に対して $\| Tu \|_{L^\infty(\GO)^*} = \| u \|_{L^1(\GO)}$ が成り立つから, 作用素 $T$ は単射な有界線型作用素である. よって, $L^1(\GO) \subset L^\infty(\GO)^*$ である.

しかし, 逆向きの包含 $L^1(\GO) \supset L^\infty(\GO)^*$ は一般には成立しない. このことを $\GO$ が $\Rbb^n$ の領域の場合に確認する.

$a \in \GO$ を1つ取り, $C^0(\ol{\GO})$ 上の線型汎関数 $\Gf_a$ を $$ \Gf_a(f) := f(a), \quad f \in C^0(\ol{\GO}) $$ で定義する. この時, 任意の $f \in C^0(\ol{\GO})$ に対して $|\Gf_a(f)| \leq \| f \|_{L^\infty(\GO)}$ であるから, Hahn-Banach の拡張定理によりある $\Gf \in L^\infty(\GO)^*$ が存在して, 任意の $f \in C^0(\ol{\GO})$ に対しては $\la \Gf, f \ra = f(a)$ が成り立つ.

この $\Gf \in L^\infty(\GO)^*$ に対しては, \[ \la \Gf, f \ra = \int_\GO u f\,d\Gm \tag{4} \] を任意の $f \in L^\infty(\GO)$ で満たすような $u \in L^1(\GO)$ が存在しないことを示す. このような $u \in L^1(\GO)$ が存在したと仮定すると, $f(a) = 0$ を満たす任意の $f \in C^0(\ol{\GO})$ に対して $$ \int_\GO u f\,d\Gm = 0 $$ が成り立つ. 変分法の基本補題により, $u$ は $\GO \backslash \{ a \}$ のほとんど至るところで $0$ であるが, $\Gm(\{ a \}) = 0$ であるので, 結局 $\GO$ のほとんど至るところで $0$ である. これにより任意の $f \in L^\infty(\GO)$ に対して $$ \la \Gf, f \ra = \int_\GO u f \,d\Gm = 0 $$ であるが, これは $f(a) \neq 0$ なる $f \in C^0(\ol{\GO})$ に対して $\la \Gf, f \ra = f(a) \neq 0$ となることに矛盾する. よって, (4) を任意の $f \in L^\infty(\GO)$ で満たすような $u \in L^1(\GO)$ は存在しない.

\(L^p\) 空間の双対性

\(1 < p < \infty\) の場合

\(p = 1\) の場合

\(p = \infty\) の場合

参考文献