$$
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% define bold face
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% Abbreviate definitions of greek symbols
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$$
\(L^2\) generalized solution と elliptic regularization
\(\GO\) を \(\Rbb^n\) の有界領域とし, その境界 \(\p \GO\) は滑らかであると仮定する. 2階の線型微分作用素 \(\Lcal\) を
\[
\Lcal u := -\sum_{i = 1}^n \frac{\p}{\p x_i} \left( \sum_{j = 1}^n a_{ij} \frac{\p}{\p x_j} u \right) + \sum_{i = 1}^n a_i \frac{\p}{\p x_i} u + a u \tag{1}
\]
で定義する. ただし, 係数 \(a_{ij}\), \(a_i\) および \(a\) は以下の条件を満たすものとする.
- \(a_{ij}, a_i \in W^{1, \infty}(\GO)\), \(a \in L^\infty(\GO)\),
- 任意の \(i, j\) に対して \(a_{ij} = a_{ji}\),
- ある \(\Gm > 0\) が存在して, 任意の \(\Gx = (\Gx_1, \ldots, \Gx_n) \in \Rbb^n\) に対して
$$
0 \leq a_{ij}(x) \Gx_i \Gx_j \leq \Gm |\Gx|^2
$$
がほとんど至るところの \(x \in \GO\) について成り立つ.
今, 微分作用素 \(\Lcal\) を, \(D(\Lcal) := H^2(\GO) \cap H^1_0(\GO)\) を定義域とする \(L^2(\GO)\) から \(L^2(\GO)\) への非有界線型作用素と見なす.
\(L^2\) generalized solution の存在について, 次の定理が知られている.
\(H^1_0(\GO)\) 上の双線型形式 \(\Lcal(\cdot, \cdot)\) を
$$
\Lcal(u, v) := \int_\GO \left( \sum_{i, j = 1}^n a_{ij}(x) u_{x_i} v_{x_j} + a_i u_{x_i} v + a u v \right)\,dx
$$
で定義する. ただし, \(a_{ij}\), \(a_i\), \(a\) は (1) に現れるものであり, \(u_{x_i}\) は関数 \(u\) の \(x_i\) 偏導関数を表す. このとき, ある正の定数 \(\Gv_0\) が存在して任意の \(u \in H^1_0(\GO)\) に対して \(\Lcal(u, u) \geq \Gv_0 \| u \|_{L^2(\GO)}^2\) が成り立つならば, 任意の \(f \in L^2(\GO)\) に対して境界値問題 (2) の \(L^2\) generalized solution \(u\) が存在する.
\(\Ge > 0\) に対して, \(\Lcal^\Ge := \Lcal - \Ge \GD\) とする. また, \(\Lcal^\Ge\) に対応する \(H^1_0(\GO)\) 上の双線型形式 \(\Lcal^\Ge(\cdot, \cdot)\) を
$$
\Lcal^\Ge(u, v) := \Lcal(u, v) + \Ge \int_\GO \sum_{i = 1}^n u_{x_i} v_{x_i}\,dx
$$
で定義する. このとき, 定理の仮定より, 任意の \(u \in H^1_0(\GO)\) に対して
$$
\Lcal^\Ge(u, u) \geq \Gv_0 \| u \|_{L^2(\GO)}^2 + \Ge \| u \|_{H^1_0(\GO)}^2
$$
が成り立つ. よって, 境界値問題
$$
\begin{cases}
\Lcal^\Ge u = f,\\
u|_{\p \GO} = 0
\end{cases}
$$
に対して, \(H^1\) 弱解 \(u^\Ge \in H^1_0(\GO)\) が一意に存在する. さらに,
\[
\Gv_0 \| u^\Ge \|_{L^2(\GO)}^2 + \Ge \| u^\Ge \|_{H^1_0(\GO)} \leq \left| \int_\GO f u^\Ge \,dx \right| \leq \| f \|_{L^2(\GO)} \| u^\Ge \|_{L^2(\GO)} \tag{3}
\]
が成り立つ.
不等式 (3) の最左辺第一項に着目して, \(\| u^\Ge \|_{L^2(\GO)} \leq \Gv_0^{-1} \| f \|_{L^2(\GO)}\) を得る. この評価により, 関数列 \(\{ u^\Ge \}_{\Ge > 0}\) は \(L^2(\GO)\) において一様に有界であるから, ある関数 \(u \in L^2(\GO)\) に弱収束する部分列 \(\{ u^{\Ge_n} \}\) が存在する. このとき, 再び (3) により,
$$
\Ge_n \| u^{\Ge_n} \|_{H^1_0(\GO)}^2 \leq \| f \|_{L^2(\GO)} \| u^{\Ge_n} \|_{L^2(\GO)} \leq \Gv_0^{-1} \| f \|_{L^2(\GO)}^2
$$
を得る. よって, 任意の \(v \in H^1_0(\GO)\) に対して
\[
\Ge_n \left| \int_\GO \nabla u^{\Ge_n} \cdot \nabla v \,dx \right| \leq \sqrt{\frac{\Ge_n}{\Gv_0}} \| f \|_{L^2(\GO)} \| v \|_{H^1_0(\GO)} \tag{4}
\]
が成り立つ.
ところで, \(u^{\Ge_n}\) は境界値問題
$$
\begin{cases}
\Lcal^{\Ge_n} u = f,\\
u|_{\p \GO} = 0
\end{cases}
$$
の \(H^1\) 弱解であったから, 任意の \(v \in H^2(\GO) \cap H^1_0(\GO)\) に対して
$$
\Ge_n \int_\GO \nabla u^{\Ge_n} \cdot \nabla v\,dx + \int_\GO u^{\Ge_n} \Lcal^* v\,dx = \int_\GO f v\,dx
$$
が成り立つ. \(\Ge_n \downarrow 0\) とすると, 左辺第一項は (4) より 0 に収束し, 左辺第二項は弱収束の定義より
$$
\int_\GO u \Lcal^* v\,dx
$$
に収束する. したがって, 任意の \(v \in H^2(\GO) \cap H^1_0(\GO)\) に対して
$$
\int_\GO u \Lcal^* v\,dx = \int_\GO f v\,dx
$$
が成り立つ. すなわち, \(\{ u^{\Ge_n} \}\) の弱収束極限 \(u \in L^2(\GO)\) は \(L^2\) generalized solution である.
\(\Box\)
参考文献
- O. A. Ladyzhenskaya, The boundary value problems of mathematical physics, Applied Mathematical Sciences 49, Springer-Verlag, New York (1985) (Original Russian edition published by Nauka, Moscow (1973)).