$$ \newcommand{\pv}{\mbox{p.v.}} \newcommand{\nm}{\noalign{\smallskip}} %\newcommand{\qed}{ $\Box$} \newcommand{\ds}{\displaystyle} %\newcommand{\pf}{\noindent {\sl Proof}. \ } \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\pd}[2]{\frac {\p #1}{\p #2}} \newcommand{\eqnref}[1]{(\ref {#1})} \newcommand{\Abb}{\mathbb{A}} \newcommand{\Cbb}{\mathbb{C}} \newcommand{\Hbb}{\mathbb{H}} \newcommand{\Ibb}{\mathbb{I}} \newcommand{\Nbb}{\mathbb{N}} \newcommand{\Kbb}{\mathbb{K}} \newcommand{\Rbb}{\mathbb{R}} \newcommand{\Sbb}{\mathbb{S}} \renewcommand{\div}{\mbox{div}\,} \newcommand{\la}{\langle} \newcommand{\ra}{\rangle} \newcommand{\Acal}{\mathcal{A}} \newcommand{\Bcal}{\mathcal{B}} \newcommand{\Ccal}{\mathcal{C}} \newcommand{\Ecal}{\mathcal{E}} \newcommand{\Fcal}{\mathcal{F}} \newcommand{\Hcal}{\mathcal{H}} \newcommand{\Lcal}{\mathcal{L}} \newcommand{\Kcal}{\mathcal{K}} \newcommand{\Ncal}{\mathcal{N}} \newcommand{\Dcal}{\mathcal{D}} \newcommand{\Pcal}{\mathcal{P}} \newcommand{\Qcal}{\mathcal{Q}} \newcommand{\Rcal}{\mathcal{R}} \newcommand{\Scal}{\mathcal{S}} \newcommand{\Tcal}{\mathcal{T}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % define bold face %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\Ba{{\bf a}} \def\Bb{{\bf b}} \def\Bc{{\bf c}} \def\Bd{{\bf d}} \def\Be{{\bf e}} \def\Bf{{\bf f}} \def\Bg{{\bf g}} \def\Bh{{\bf h}} \def\Bi{{\bf i}} \def\Bj{{\bf j}} \def\Bk{{\bf k}} \def\Bl{{\bf l}} \def\Bm{{\bf m}} \def\Bn{{\bf n}} \def\Bo{{\bf o}} \def\Bp{{\bf p}} \def\Bq{{\bf q}} \def\Br{{\bf r}} \def\Bs{{\bf s}} \def\Bt{{\bf t}} \def\Bu{{\bf u}} \def\Bv{{\bf v}} \def\Bw{{\bf w}} \def\Bx{{\bf x}} \def\By{{\bf y}} \def\Bz{{\bf z}} \def\BA{{\bf A}} \def\BB{{\bf B}} \def\BC{{\bf C}} \def\BD{{\bf D}} \def\BE{{\bf E}} \def\BF{{\bf F}} \def\BG{{\bf G}} \def\BH{{\bf H}} \def\BI{{\bf I}} \def\BJ{{\bf J}} \def\BK{{\bf K}} \def\BL{{\bf L}} \def\BM{{\bf M}} \def\BN{{\bf N}} \def\BO{{\bf O}} \def\BP{{\bf P}} \def\BQ{{\bf Q}} \def\BR{{\bf R}} \def\BS{{\bf S}} \def\BT{{\bf T}} \def\BU{{\bf U}} \def\BV{{\bf V}} \def\BW{{\bf W}} \def\BX{{\bf X}} \def\BY{{\bf Y}} \def\BZ{{\bf Z}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Abbreviate definitions of greek symbols %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\Ga}{\alpha} \newcommand{\Gb}{\beta} \newcommand{\Gd}{\delta} \newcommand{\Ge}{\epsilon} \newcommand{\Gve}{\varepsilon} \newcommand{\Gf}{\Gvf} \newcommand{\Gvf}{\varphi} \newcommand{\Gg}{\gamma} \newcommand{\Gc}{\chi} \newcommand{\Gi}{\iota} \newcommand{\Gk}{\kappa} \newcommand{\Gvk}{\varkappa} \newcommand{\Gl}{\lambda} \newcommand{\Gn}{\eta} \newcommand{\Gm}{\mu} \newcommand{\Gv}{\nu} \newcommand{\Gp}{\pi} \newcommand{\Gt}{\theta} \newcommand{\Gvt}{\vartheta} \newcommand{\Gr}{\rho} \newcommand{\Gvr}{\varrho} \newcommand{\Gs}{\sigma} \newcommand{\Gvs}{\varsigma} \newcommand{\Gj}{\Phi^*} \newcommand{\Gu}{\upsilon} \newcommand{\Go}{\omega} \newcommand{\Gx}{\xi} \newcommand{\Gy}{\psi} \newcommand{\Gz}{\zeta} \newcommand{\GD}{\Delta} \newcommand{\GF}{\Phi} \newcommand{\GG}{\Gamma} \newcommand{\GL}{\Lambda} \newcommand{\GP}{\Pi} \newcommand{\GT}{\Theta} \newcommand{\GS}{\Sigma} \newcommand{\GU}{\Upsilon} \newcommand{\GO}{\Omega} \newcommand{\GX}{\Xi} \newcommand{\GY}{\Psi} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\BGG}{{\bf \GG}} \newcommand{\BGf}{\mbox{\boldmath $\Gf$}} \newcommand{\BGvf}{\mbox{\boldmath $\Gvf$}} \newcommand{\Bpsi}{\mbox{\boldmath $\Gy$}} \newcommand{\wBS}{\widetilde{\BS}} \newcommand{\wGl}{\widetilde{\Gl}} \newcommand{\wGm}{\widetilde{\Gm}} \newcommand{\wGv}{\widetilde{\Gv}} \newcommand{\wBU}{\widetilde{\BU}} %%%%%%%%%% \newcommand{\Jfrak}{\mathfrak{J}} %%%%%%%%%% \newcommand{\beq}{\begin{equation}} \newcommand{\eeq}{\end{equation}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\ol{\overline} \def\bs{\backslash} \def\wt{\widetilde} \newcommand{\hatna}{\widehat{\nabla}} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\divergence}{div} \DeclareMathOperator{\Real}{Re} \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} \DeclareMathOperator{\dist}{dist} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $$ 1次元移流方程式に対する elliptic regularization による誤差

1次元移流方程式に対する elliptic regularization による誤差

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1次元移流方程式の境界値問題 \[ \begin{cases} a(x) u'(x) + b(x) u(x) = f(x), \quad x \in (0, 1),\\ u(0) = 0 \tag{1} \end{cases} \] を考える. ただし, \(a \in C^1([0, 1])\), \(a_0 := \min_{x \in [0, 1]} a(x) > 0\), \(b \in C^0([0, 1])\), \(f \in L^2(0, 1)\) とする. 境界値問題 (1) の (\(H^1\)) 解は \[ u(x) = \int_0^x \exp \left( B(y) - B(x) \right) \frac{f(y)}{a(y)}\,dy \tag{2} \] である. ただし, $$ B(x) := \int_0^x \frac{b(t)}{a(t)}\,dt $$ とおいた.

境界値問題 (1) に対して elliptic regularization を施すと, 境界値問題 \[ \begin{cases} -\Ge u''(x) + a(x) u'(x) + b(x) u(x) = f(x), \quad x \in (0, 1),\\ u(0) = u(1) = 0 \tag{3} \end{cases} \] が得られる (Ladyzhenskaya 参照). ただし, \(\Ge > 0\) とする. 境界値問題 (3) の解 \(u_{\Ge, D}\) は境界値問題 (1) の解 \(u\) に \(L^2(0, 1)\) で弱収束することが知られている (Ladyzhenskaya 参照) が, 境界値問題 (3) では境界値問題 (1) と比較して \(x=1\) で付加的な条件がついており, これに起因して \(x=1\) の近傍で近似の精度が低下する. この問題を緩和するために, \(x=1\) での境界条件を Dirichlet 条件から Neumann 条件に変更した境界値問題 \[ \begin{cases} -\Ge u''(x) + a(x) u'(x) + b(x) u(x) = f(x), \quad x \in (0, 1),\\ u(0) = u'(1) = 0 \tag{4} \end{cases} \] を考えることが提案されている.

本ページでは, \(a, b, f \in C^1([0, 1])\) の場合に限って差の \(L^2\) 評価を行い, \(\Ge \downarrow 0\) としたとき適当な仮定下では境界値問題 (4) の解 \(u_{\Ge, N}\) のほうが境界値問題 (3) の解 \(u_{\Ge, D}\) よりも速くに元の境界値問題 (1) の解 \(u\) に収束することを報告する.

\(u\) と \(u_{\Ge, D}\) の \(L^2\) 誤差評価

Kellog, Tsan のアイデアを基に, 2つの境界値問題 (1), (3) の解の差の \(L^2\) 評価を行う. 低階項を非斉次項と見なせば, 境界値問題 (1), (3) の解 \(u\), \(u_{\Ge, D}\) はそれぞれ積分方程式 \begin{align} u(x) =& \int_0^x a(y)^{-1} (f(y) - b(y)u(y))\,dy, \label{sol_advection_1d_int} \tag{5}\\ u_{\Ge, D}(x) =& -\Ge^{-1} \int_0^x \int_0^y \exp \left( \Ge^{-1} (A(y) - A(t)) \right) (f(t) - b(t) u_{\Ge, D}(t))\,dtdy \nonumber\\ &+\Ge^{-1} E_{A, \Ge}^{-1} \int_0^1 \int_0^y \exp \left( \Ge^{-1} (A(y) - A(t)) \right) (f(t) - b(t) u_{\Ge, D}(t))\,dtdy \int_0^x \exp \left( \Ge^{-1} A(y) \right)\,dy \label{sol_advection_1d_D_int} \tag{6} \end{align} を満たす. ただし, $$ A(x) := \int_0^x a(t)\,dt, \quad E_{A, \Ge} := \int_0^1 \exp \left( \Ge^{-1} A(y) \right)\,dy $$ とおいた. 以下では, 積分方程式 \eqref{sol_advection_1d_int}, \eqref{sol_advection_1d_D_int} の解の差の \(L^2\) 評価を行う.

\(a, b, f \in C^1([0, 1])\) かつ次を仮定する: ある \(\Ge_0 > 0\), \(0 \leq \Ga < 1\), \(C > 0\) が存在して, 任意の \(0 < \Ge < \Ge_0\) に対して \(\| \{ a^{-1}(f - b u_{\Ge, D}) \}' \|_{L^\infty(0, 1)} \leq C \Ge^{-\Ga}\) が成り立つ. このとき, ある \(\Ge^* > 0\) とある \(C > 0\) が存在して, 任意の \(0 < \Ge < \Ge^*\) に対して次が成り立つ:

  1. \(0 \leq \Ga \leq 1/2\) のとき, \(\| u - u_{\Ge, D} \|_{L^2(0, 1)} \leq C \Ge^{1/2}\),
  2. \(1/2 < \Ga < 1\) のとき, \(\| u - u_{\Ge, D} \|_{L^2(0, 1)} \leq C \Ge^{1 - \Ga}\).

部分積分により \begin{align*} &\Ge^{-1} \int_0^x \int_0^y \exp \left( \Ge^{-1}(A(y) - A(t)) \right) (f(t) - b(t) u_{\Ge, D}(t))\,dtdy\\ =& -\int_0^x a(y)^{-1} (f(y) - b(y) u_{\Ge, D}(y))\,dy + a(0)^{-1} f(0) \int_0^x \exp \left( \Ge^{-1} A(y) \right)\,dy\\ &+ \int_0^x \int_0^y \exp \left( \Ge^{-1}(A(y) - A(t)) \right) \{a(t)^{-1} (f(t) - b(t) u_{\Ge, D}(t))\}'\,dtdy \end{align*} が成り立つことに注意すると, \begin{align*} u_{\Ge, D}(x) =& \int_0^x a(y)^{-1} (f(y) - b(y) u_{\Ge, D}(y))\,dy\\ &- \left( \int_0^1 a(y)^{-1} (f(y) - b(y) u_{\Ge, D}(y))\,dy \right) E_{A, \Ge}^{-1} \int_0^x \exp \left( \Ge^{-1} A(y) \right)\,dy\\ &+E_{A, \Ge}^{-1} \left\{ \int_0^x \int_0^1 \int_0^y \exp \left( \Ge^{-1} (A(z) + A(y) - A(t) \right) \{a(t)^{-1} (f(t) - b(t) u_{\Ge, D}(t))\}'\,dtdydz \right.\\ &\quad \left. - \int_0^1 \int_0^x \int_0^y \exp \left( \Ge^{-1} (A(z) + A(y) - A(t) \right) \{a(t)^{-1} (f(t) - b(t) u_{\Ge, D}(t))\}'\,dtdydz \right\}\\ =& \int_0^x a(y)^{-1} (f(y) - b(y) u_{\Ge, D}(y))\,dy- u(1) E_{A, \Ge}^{-1} \int_0^x \exp \left( \Ge^{-1} A(y) \right)\,dy\\ &- E_{A, \Ge}^{-1} \int_0^1 a(y)^{-1} b(y) (u(y) - u_{\Ge, D}(y))\,dy \int_0^x \exp \left( \Ge^{-1} A(y) \right)\,dy\\ &+ E_{A, \Ge}^{-1} \int_0^x \int_0^1 \int_z^y \exp \left( \Ge^{-1} (A(z) + A(y) - A(t) \right) \{a(t)^{-1} (f(t) - b(t) u_{\Ge, D}(t))\}'\,dtdydz \end{align*} と変形できる. ただし最後の式変形では, 積分 $$ \int_0^1 \int_0^x \int_0^y \exp \left( \Ge^{-1} (A(z) + A(y) - A(t)) \right) \{a(t)^{-1}(f(t) - b(t) u_{\Ge, D}(t))\}'\,dtdydz $$ の \(y\) と \(z\) を入れ換えて, 前の積分との差を取った. よって, \begin{align*} u(x) - u_{\Ge, D}(x) =& \int_0^x b(y) (u_{\Ge, D}(y) - u(y))\,dy + u(1) E_{A, \Ge}^{-1} \int_0^x \exp \left( \Ge^{-1} A(y) \right)\,dy\\ &+ E_{A, \Ge}^{-1} \int_0^x \exp \left( \Ge^{-1} A(y) \right)\,dy \int_0^1 a(y)^{-1} b(y) (u(y) - u_{\Ge, D}(y))\,dy\\ &- E_{A, \Ge}^{-1} \int_0^x \int_0^1 \int_z^y \exp \left( \Ge^{-1} (A(z) + A(y) - A(t) \right) \{a(t)^{-1} (f(t) - b(t) u_{\Ge, D}(t))\}'\,dtdydz \end{align*} が成り立つ. この両辺を2乗すれば, $$ |u(x) - u_{\Ge, D}(x)|^2 \leq \Gb(x) + 4 \| b \|_{L^2(0, 1)}^2 \int_0^x |u(y) - u_{\Ge, D}(y)|^2\,dy $$ が得られる. ただし, \begin{align*} \Gb(x) :=& 4 u(1)^2 E_{A, \Ge}^{-2} \left(\int_0^x \exp \left( \Ge^{-1} A(y) \right)\,dy \right)^2 + 4E_{A, \Ge}^{-2} \left( \int_0^x \exp \left( \Ge^{-1} A(y) \right)\,dy \right)^2 \| b/ a \|_{L^2(0, 1)}^2 \| u - u_{\Ge, D} \|_{L^2(0, 1)}^2\\ &+4 E_{A, \Ge}^{-2} \left( \int_0^x \int_0^1 \int_z^y \exp \left( \Ge^{-1} (A(z) + A(y) - A(t) \right) \{a(t)^{-1} (f(t) - b(t) u_{\Ge, D}(t))\}'\,dtdydz \right)^2 \end{align*} である.

関数 \(\Gb\) は区間 \([0, 1]\) 上で単調非減少であるから, Gronwall の不等式より, $$ |u(x) - u_{\Ge, D}(x)|^2 \leq \Gb(x) \exp \left( 4 \| b \|_{L^2(0, 1)}^2 x \right) \leq \exp \left( 4 \| b \|_{L^2(0, 1)}^2 \right) \Gb(x) $$ が成り立つ. これを積分して, $$ \| u - u_{\Ge, D} \|_{L^2(0, 1)}^2 \leq C \int_0^1 \Gb(x)\,dx $$ を得る. ここで, \(C\) は \(\Ge\) に依存しない定数であり, 以下では必要に応じて \(C\) を取り換えるものとする.

変数変換 \(Y = A(y)\) を考えると, $$ \int_0^x \exp \left( \Ge^{-1} A(y) \right)\,dy = \int_0^{A(x)} \exp \left( \Ge^{-1} Y \right) a(y(Y))^{-1}\,dY \leq a_0^{-1} \Ge \exp \left(\Ge^{-1} A(x) \right), $$ および $$ \int_0^x \exp \left( \Ge^{-1} A(y) \right)\,dy \geq \| a \|_{L^\infty(0, 1)}^{-1} \Ge \left( \exp \left(\Ge^{-1} A(x) \right) - 1 \right) $$ が成り立つ. よって, $$ E_{A, \Ge}^{-1} \leq \| a \|_{L^\infty(0, 1)} \Ge^{-1} \left( \exp \left(\Ge^{-1} A(1) \right) - 1 \right)^{-1} = \| a \|_{L^\infty(0, 1)} \Ge^{-1} \left( \exp \left(\Ge^{-1} \| a \|_{L^1(0, 1)} \right) - 1 \right)^{-1} $$ が成り立つ.

これらの評価を用いて, \begin{align*} &E_{A, \Ge}^{-2} \int_0^1 \left( \int_0^x \exp \left( \Ge^{-1} A(y) \right)\,dy \right)^2\,dx\\ \leq& \| a \|_{L^\infty(0, 1)}^2 \Ge^{-2} \left( \exp \left(\Ge^{-1} \| a \|_{L^1(0, 1)} \right) - 1 \right)^{-2} \int_0^1 a_0^{-2} \Ge^2 \exp \left(2 \Ge^{-1} A(x) \right)\,dx\\ \leq& \frac{\| a \|_{L^\infty(0, 1)}^2}{2 a_0^3} \frac{1}{\left(1 - \exp \left( -\Ge^{-1} \| a \|_{L^1(0, 1)} \right) \right)^2} \Ge,\\ &E_{A, \Ge}^{-2} \int_0^1 \left( \int_0^x \int_0^1 \int_z^y \exp \left( \Ge^{-1} (A(z) + A(y) - A(t) \right) \{ a(t) (f(t) - b(t) u_{\Ge, D}(t))\}'\,dtdydz \right)^2\,dx\\ \leq& a_0^{-2} \Ge^2 E_{A, \Ge}^{-2} \| \{a^{-1} (f - b u_{\Ge, D})\}' \|_{L^\infty(0, 1)}^2 \int_0^1 \left( x E_{A, \Ge} + \int_0^x (2z - 1) \exp \left( \Ge^{-1} A(z) \right)\,dz \right)^2\,dx\\ \leq& \frac{4 \| \{a^{-1} (f - b u_{\Ge, D})\}' \|_{L^\infty(0, 1)}^2}{a_0^2} \Ge^2 \end{align*} が得られる. したがって, \(\exp \left( -\Ge_1^{-1} \| a \|_{L^1(0, 1)} \right) < 1\) が成り立つように \(\Ge_1 > 0\) を小さく取れば, 任意の \(0 < \Ge < \Ge_1\) について $$ \| u - u_{\Ge, D} \|_{L^2(0 ,1)}^2 \leq \int_0^1 \Gb(x)\,dx \leq C (\Ge + \Ge \| u - u_{\Ge, D} \|_{L^2(0, 1)}^2 + \Ge^{2 - 2\Ga}) $$ が成り立つ. さらに, 右辺の \(\| u - u_{\Ge, D} \|_{L^2(0, 1)}^2\) の係数が \(1\) より小さくなるように \(\Ge = \Ge^* < \Ge_1\) を取れば, この項を左辺に移項して $$ \| u - u_{\Ge, D} \|_{L^2(0 ,1)} \leq C (\Ge + \Ge^{2 - 2\Ga})^{1/2} $$ が任意の \(0 < \Ge < \Ge^*\) に対して成り立つことが分かる. この評価から 定理1. が従う.

\(\Box\)

定理1. の評価に現れる定数 \(C\) は元の境界値問題 (1) の解 \(u\) の \(x = 1\) における値 \(u(1)\) に依存するが, \(u(1) = \lim_{x \uparrow 1} u(x)\) は有限確定する. このことは, 解 \(u\) の表示式 (2) で \(x \uparrow 1\) とすれば分かる.

\(\Ge \downarrow 0\) のとき, \(x = 1\) の近傍で \(O(\Ge)\) の境界層が発生することが知られている (要出典). このことから, \(x = 1\) の \(O(\Ge)\) 近傍では \(u_{\Ge, D}'(x) = O(\Ge^{-1})\) と挙動することが予想される. この挙動を仮定すれば \(\| u_{\Ge, D}' \|_{L^2(0, 1)} = O(\Ge^{-1/2})\) となるが, このことは少なくとも elliptic regularization の議論から得られる評価とは矛盾しない. 一方で, 先の議論で \(\Ga = 1\) の場合を考えれば, \(u_{\Ge, D}\) が \(u\) に \(L^2(0, 1)\) で強収束するかどうかは非自明となる.

\(a = f = 1\), \(b = 0\) の場合, 境界値問題 (3) の解 \(u_{\Ge, D}\) は $$ u_{\Ge, D}(x) = x - \left( e^{\Ge^{-1} x} - 1\right) \left( e^{\Ge^{-1}} - 1\right)^{-1} $$ となる. このとき, $$ u_{\Ge, D}'(x) = 1 - \Ge^{-1} \left( e^{\Ge^{-1} x} - 1\right) \left( e^{\Ge^{-1}} - 1\right)^{-1} $$ である. よって, \(0 < \Ge < 1\) のとき, $$ \max_{x \in [0, 1]} |u_{\Ge, D}'(x)| = - u_{\Ge, D}'(1) = \Ge^{-1} - 1 = O(\Ge^{-1}) $$ である. また, $$ \int_0^1 |u_{\Ge, D}'(x)|^2\,dx = - 1 + \frac{5}{2} \Ge^{-1} - \Ge^{-1} \left( e^{\Ge^{-1}} - 1\right)^{-1} + \Ge^{-2} \left( e^{\Ge^{-1}} - 1\right)^{-2} $$ であるから, \(\Ge \downarrow 0\) のとき \(\| u_{\Ge, D}' \|_{L^2(0, 1)} = O(\Ge^{1/2})\) である.

なお, この例では \(\| \{a^{-1} (f - b u_{\Ge, D}) \}' \|_{L^\infty(0, 1)} = \| (a^{-1} f)' \|_{L^\infty(0, 1)} \leq C\) であるので, 定理1. において \(\Ga = 0\) と取ることができる. よって, 導関数に特異性が生じるものの, 定理1. で示唆される収束のオーダーが得られている. また, 低階項の寄与を吟味しなければならないが, 定理1. で示唆される収束のオーダーが最良であると期待される.

\(u\) と \(u_{\Ge, N}\) の \(L^2\) 誤差評価

同様にして2つの境界値問題 (1), (4) の解の差の \(L^2\) 評価を行う. 低階項を非斉次項と見なせば, 境界値問題 (4) の解 \(u_{\Ge, N}\) は積分方程式 \[ u_{\Ge, N}(x) = \Ge^{-1} \int_0^x \int_y^1 \exp \left( \Ge^{-1} (A(y) - A(t)) \right) (f(t) - b(t) u_{\Ge, N}(t))\,dtdy \tag{7} \] を満たす. 以下では, 積分方程式 \eqref{sol_advection_1d_int}, (7) の解の差の \(L^2\) 評価を行う.

\(a, b, f \in C^1([0, 1])\) かつ次を仮定する: ある \(\Ge_0 > 0\), \(0 \leq \Ga < 1\), \(C > 0\) が存在して, 任意の \(0 < \Ge < \Ge_0\) に対して \(\| \{ a^{-1}(f - b u_{\Ge, N}) \}' \|_{L^\infty(0, 1)} \leq C \Ge^{-\Ga}\) が成り立つ. このとき, ある \(\Ge^* >0\) とある \(C > 0\) が存在して, 任意の \(0 < \Ge < \Ge^*\) に対して $$ \| u - u_{\Ge, N} \|_{L^2(0, 1)} + |u(1) - u_{\Ge, N}(1)| \leq C \Ge^{1 - \Ga} $$ が成り立つ.

先の議論のように部分積分を施せば, \(f(1) = a(1) u'(1) + b(1) u(1)\) に注意して \begin{align*} u(x) - u_{\Ge, N}(x) =& \int_0^x a(y)^{-1} b(y)(u(y) - u_{\Ge, N}(y))\,dy\\ &+ \{ a(1)^{-1} b(1) (u(1) - u_{\Ge, N}(1)) + u'(1) \} \int_0^x \exp \left( \Ge^{-1} (A(y) - A(1)) \right)\,dy\\ &- \int_0^x \int_y^1 \exp \left( \Ge^{-1} (A(y) - A(t)) \right) \{ a(t)^{-1} (f(t) - b(t) u_{\Ge, N}(t)) \}'\,dt\,dy \end{align*} が得られる. \(\| \{ a^{-1} (f - b u_{\Ge, N}) \}' \|_{L^\infty(0, 1)} \leq C \Ge^{-\Ga}\) の仮定を利用すれば, \begin{align} |u(x) - u_{\Ge, N}(x)| \leq& \int_0^x a(y)^{-1} |b(y)| |u(y) - u_{\Ge, N}(y)|\,dy \nonumber\\ &+ \{ a(1)^{-1} |b(1)| |u(1) - u_{\Ge, N}(1)| + |u'(1)| \} \exp \left( \Ge^{-1} a_0(x - 1) \right) a_0^{-1} \Ge \nonumber\\ &+ C a_0^{-1} \Ge^{1 - \Ga} x \label{pwest} \tag{8} \end{align} と評価できる.

まず, \(|u(1) - u_{\Ge, N}(1)|\) を評価する. 以下の議論では, \(u\), \(\Ge\), \(x\) には依存しない定数をまとめて \(C\) と表すこととする. 不等式 \eqref{pwest} で \(x = 1\) とおけば, \begin{align*} |u(1) - u_{\Ge, N}(1)| \leq& \int_0^1 a(y)^{-1} |b(y)| |u(y) - u_{\Ge, N}(y)|\,dy\\ &+ \{ a(1)^{-1} |b(1)| |u(1) - u_{\Ge, N}(1)| + |u'(1)| \} a_0^{-1} \Ge+ C a_0^{-1} \Ge^{1 - \Ga} \end{align*} となる. ここで, $$ a_0^{-2} \| b \|_{L^\infty(0, 1)} \Ge_1 < 1 $$ となるように \(0 < \Ge_1 < \Ge_0\) を取れば, 任意の \(0 < \Ge < \Ge_1\) に対して \[ |u(1) - u_{\Ge, N}(1)| \leq C \left( \| b/a \|_{L^2(0, 1)} \| u - u_{\Ge, N} \|_{L^2(0, 1)} + \Ge^{1 - \Ga} \right) \tag{9} \] と評価できる.

次に, 不等式 \eqref{pwest} の辺々を2乗すれば, \begin{align*} |u(x) - u_{\Ge, N}(x)|^2 \leq& 2 \left( \int_0^x a(y)^{-1} |b(y)| |u(y) - u_{\Ge, N}|\,dy \right)^2\\ &+ C [\{|u(1) - u_{\Ge, N}(1)| + 1\} \exp \left( \Ge^{-1} a_0(x - 1) \right) \Ge + \Ge^{1 - \Ga} x]^2\\ \leq& C \Gg(x) + 2 \| b / a \|_{L^2(0, 1)} \int_0^x |u(y) - u_{\Ge, N}(y)|^2\,dy \end{align*} と評価できる. ただし, $$ \Gg(x) := \{|u(1) - u_{\Ge, N}(1)|^2 + 1\} \exp \left( 2\Ge^{-1} a_0(x - 1) \right) \Ge^2 + \Ge^{2(1 - \Ga)} x^2 $$ である. 関数 \(\Gg(x)\) は区間 \([0, 1]\) 上連続でかつ単調非減少であるから, Gronwall の不等式より $$ |u(x) - u_{\Ge, N}(x)|^2 \leq C \Gg(x) \exp \left( 2 \| b / a \|_{L^2(0, 1)} x \right) \leq C \Gg(x) $$ が成り立つ. これを積分すれば, $$ \| u - u_{\Ge, N} \|_{L^2(0, 1)}^2 \leq C \int_0^1 \Gg(x)\,dx $$ が得られる.

ここで, 不等式 (9) を用いると, $$ \int_0^1 \Gg(x)\,dx \leq C \left( \| u - u_{\Ge, N} \|_{L^2(0, 1)}^2 \Ge^3 + \Ge^{2(1 - \Ga)} \right) $$ が成り立つ. よって, この定数 \(C\) に対して \(C (\Ge^*)^3 < 1\) となるように \(0 < \Ge^* < \Ge_1\) を取れば, \[ \| u - u_{\Ge, N} \|_{L^2(0, 1)} \leq C \Ge^{1 - \Ga} \tag{10} \] が任意の \(0 < \Ge \leq \Ge^*\) について成り立つことが分かる.

最後に, 不等式 (10) を不等式 (9) に代入すれば, $$ |u(1) - u_{\Ge, N}(1)| \leq C \Ge^{1 - \Ga} $$ が成り立つことも分かる. 以上より, 定理2. が成立する.

\(\Box\)

定理1. の評価に現れる定数 \(C\) は元の境界値問題 (1) の解 \(u\) の導関数の \(x = 1\) における値 \(u'(1)\) に依存するが, 一般には \(u'(1) = \lim_{x \uparrow 1} u'(x)\) は有限確定しない. このことは, 元の境界値問題を \(u'\) について形式的に解いて $$ u'(x) = a(x)^{-1} (f(x) - b(x) u(x)) $$ とし, \(f \in L^2(0, 1)\) の場合を考えれば分かる. ただし, \(a, b, f \in C^1([0, 1])\) の仮定下では \(u'(1)\) は有限確定する.

\(a, b, f \in C^1([0, 1])\) のとき, ある定数 \(C\) が存在して, 境界値問題 (4) の解の族 \(\{ u_{\Ge, N} \}_{\Ge > 0}\) に対して \(\sup_{\Ge > 0} \| u_{\Ge, N} \|_{L^2(0, 1)} < C\) が成立するならば, 定理2. で \(\Ga = 1/2\) と取れることを証明する. なお, この仮定は例えば $$ b_0 := \min_{x \in [0, 1]} \left( b(x) - \frac{1}{2} a'(x) \right) > 0 $$ のときに満たされる. 実際, 境界値問題 (4) の両辺に解 \(u_{\Ge, N}\) をかけて積分すると, $$ -\int_0^1 \Ge u_{\Ge, N}''(x) u_{\Ge, N}(x)\,dx + \int_0^1 a(x) u_{\Ge, N}'(x) u_{\Ge, N}(x)\,dx + \int_0^1 b(x) u_{\Ge, N}(x)^2\,dx = \int_0^1 f(x) u_{\Ge, N}(x)\,dx $$ となるが, 境界条件を考慮して各積分を評価すると, \begin{align*} -\int_0^1 \Ge u_{\Ge, N}''(x) u_{\Ge, N}(x)\,dx =& \Ge \int_0^1 |u_{\Ge, N}'(x)|^2\,dx,\\ \int_0^1 a(x) u_{\Ge, N}'(x) u_{\Ge, N}(x)\,dx =& a(1) u_{\Ge, N}(1)^2 - \frac{1}{2} \int_0^1 a'(x) |u_{\Ge, N}(x)|^2\,dx,\\ \left| \int_0^1 f(x) u_{\Ge, N}(x)\,dx \right| \leq& \| f \|_{L^2(0, 1)} \| u_{\Ge, N} \|_{L^2(0, 1)} \end{align*} となる. よって, $$ b_0 \| u_{\Ge, N} \|_{L^2(0, 1)}^2 \leq \| f \|_{L^2(0, 1)} \| u_{\Ge, N} \|_{L^2(0, 1)}, $$ すなわち \(\| u_{\Ge, N} \|_{L^2(0, 1)} \leq b_0^{-1} \| f \|_{L^2(0, 1)}\) が従う.

まず, 積分方程式 (7) の両辺を \(x\) について微分すると, $$ u_{\Ge, N}'(x) = \Ge^{-1} \int_x^1 \exp \left( \Ge^{-1} (A(x) - A(t)) \right) (f(t) - b(t) u_{\Ge, N}(t))\,dt $$ が得られる. この右辺を Cauchy-Schwarz の不等式で評価すると, \(\{ u_{\Ge, N} \}\) に対する仮定より $$ |u_{\Ge, N}'(x)| \leq C \Ge^{-1/2} $$ が任意の \(0 \leq x \leq 1\) で成り立つ. よって, $$ \| u_{\Ge, N}' \|_{L^\infty(0, 1)} \leq C \Ge^{-1/2} $$ である.

また, 任意の \(0 \leq x \leq 1\) に対して $$ |u_{\Ge, N}(x)| = \left| \int_0^x u_{\Ge, N}'(y)\,dy \right| \leq \| u_{\Ge, N}' \|_{L^\infty(0, 1)} $$ であるから, $$ \| u_{\Ge, N} \|_{L^\infty(0, 1)} \leq C \Ge^{-1/2} $$ も成り立つ. よって, ある \(\Ge_0 > 0\) と \(C > 0\) が存在して, 任意の \(0 < \Ge < \Ge_0\) に対して \begin{align*} \| \{a^{-1} (f - b u_{\Ge, N})\}' \|_{L^\infty(0, 1)} \leq \| (f/a)' \|_{L^\infty(0, 1)} + \| (b/a)' \|_{L^\infty(0, 1)} \| u_{\Ge, N} \|_{L^\infty(0, 1)} \| b/a \|_{L^\infty(0, 1)} \| u_{\Ge, N}' \|_{L^\infty(0, 1)} \leq C \Ge^{-1/2} \end{align*} が成り立つ. これにより, \(\| u_{\Ge, N} \|_{L^2(0, 1)}\) の一様有界性を仮定すれば, 定理2. において \(\Ga = 1/2\) と取れることが分かる.

さらに, この仮定下では導関数 \(u_{\Ge, N}'\) の \(L^2\) 評価を導くことができる. 部分積分を利用して, \(u_{\Ge, N}'\) の表示式を \begin{align*} u_{\Ge, N}'(x) =& a(x)^{-1} (f(x) - b(x) u_{\Ge, N}(x)) - a(1)^{-1}(f(1) - b(1) u_{\Ge, N}(1)) \exp \left( \Ge^{-1} (A(x) - A(1)) \right)\\ &+ \int_x^1 \exp \left( \Ge^{-1} (A(x) - A(t)) \right) \{ a(t)^{-1} (f(t) - b(t) u_{\Ge, N}(t)) \}'\,dt \end{align*} と変形する. 定理2. より, $$ \sup_{0 < \Ge < \Ge^*} |u_{\Ge, N}(1)| \leq |u(1)| + C (\Ge^*)^{1/2} < C $$ であることに注意すると, 任意の \(0 < \Ge < \Ge^*\) に対して \begin{align*} \| u_{\Ge, N}' \|_{L^2(0, 1)} \leq& C (\| a^{-1} (f - b u_{\Ge, N})\|_{L^2(0, 1)} + \int_0^1 \exp \left( \Ge^{-1} A(x) \right)\,dx\\ &+ \| a^{-1} (f - b u_{\Ge, N}) \|_{L^\infty(0, 1)} \int_0^1 \int_x^1 \exp \left( \Ge^{-1} (A(x) - A(t)) \right)\,dt\,dx ) \end{align*} が成り立つ. 仮定より, 任意の \(0 < \Ge < \Ge^*\) に対して \begin{align*} \| a^{-1} (f - b u_{\Ge, N})\|_{L^2(0, 1)} \leq& C,\\ \int_0^1 \exp \left( \Ge^{-1} A(x) \right)\,dx \leq& C \Ge,\\ \| a^{-1} (f - b u_{\Ge, N}) \|_{L^\infty(0, 1)} \int_0^1 \int_x^1 \exp \left( \Ge^{-1} (A(x) - A(t)) \right)\,dt\,dx \leq& C \Ge^{1/2} \end{align*} であるから, \(\| u_{\Ge, N}' \|_{L^2(0, 1)}\) は \(0 < \Ge < \Ge^*\) で一様有界である.

今後の課題

この解析から, 筆者は次の3点に興味を持つ.

1つ目は仮定 \(\| \{a^{-1} (f - b u_{\Ge, D}) \}' \|_{L^\infty(0, 1)} \leq C \Ge^{-\Ga}\) の妥当性である. 本解析では技術的な事情からやむを得ず仮定したが, \(b\) が恒等的には \(0\) でないときを除きこの仮定を検証することは容易ではない. この \(L^\infty\) ノルムでの仮定を \(L^2\) ノルムに変更して議論することは難しくないので, 読者自身で評価を修正してみてほしい. なお, elliptic regularization による \(L^2\) generalized solution の存在の議論から, 適当な仮定下では \(\| u_{\Ge, D}' \|_{L^2(0, 1)} \leq C \Ge^{-1/2}\), \(\| u_{\Ge, N}' \|_{L^2(0, 1)} \leq C \Ge^{-1/2}\) であることは分かるので, \(\| \{a^{-1} (f - b u_{\Ge, D}) \}' \|_{L^2(0, 1)} \leq C \Ge^{-1/2}\) を仮定して議論することは妥当である.

2つ目は, 一般の \(a\), \(f\) に対する誤差評価である. 今回は \(a, b, f \in C^1([0, 1])\) の場合に限定して解析を行ったが, 本来は Ladyzhenskaya に従えば, \(a \in W^{1, \infty}(0, 1)\), \(b \in L^\infty(0, 1)\), \(f \in L^2(0, 1)\) の場合に解析を行うべきである. また, 今回は \(a\) が常に正であることを仮定したが, 符号が変わる場合も興味深い. この場合の考察は Farrell et al. でなされているようである.

3つ目は多次元の場合の誤差解析である. 今回は1次元であるから elliptic regularization 後の解を陽に書き下せたが, 多次元の場合は一般に書き下せない. \(L^2\) generalized solution の定義式を利用して, 誤差 \(\| u - u_{\Ge, D} \|_{L^2(\GO)}\) および \(\| u - u_{\Ge, N} \|_{L^2(\GO)}\) を評価できないだろうか.

参考文献

  1. P. A. Farrell et al., Singularly perturbed convection–diffusion problems with boundary and weak interior layers, J. Comput. Appl. Math., 166 (2004), pp.133-151.
  2. R. B. Kellogg and A. Tsan, Analysis of some difference approximations for a singular perturbation problem without turning points, Math. Comput., 32, no. 144 (1978), pp.1025-1039.
  3. O. A. Ladyzhenskaya, The boundary value problems of mathematical physics, Applied Mathematical Sciences 49, Springer-Verlag, New York (1985) (Original Russian edition published by Nauka, Moscow (1973)).