$$ \newcommand{\pv}{\mbox{p.v.}} \newcommand{\nm}{\noalign{\smallskip}} %\newcommand{\qed}{ $\Box$} \newcommand{\ds}{\displaystyle} %\newcommand{\pf}{\noindent {\sl Proof}. \ } \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\pd}[2]{\frac {\p #1}{\p #2}} \newcommand{\eqnref}[1]{(\ref {#1})} \newcommand{\Abb}{\mathbb{A}} \newcommand{\Cbb}{\mathbb{C}} \newcommand{\Hbb}{\mathbb{H}} \newcommand{\Ibb}{\mathbb{I}} \newcommand{\Nbb}{\mathbb{N}} \newcommand{\Kbb}{\mathbb{K}} \newcommand{\Rbb}{\mathbb{R}} \newcommand{\Sbb}{\mathbb{S}} \renewcommand{\div}{\mbox{div}\,} \newcommand{\la}{\langle} \newcommand{\ra}{\rangle} \newcommand{\Acal}{\mathcal{A}} \newcommand{\Bcal}{\mathcal{B}} \newcommand{\Ccal}{\mathcal{C}} \newcommand{\Ecal}{\mathcal{E}} \newcommand{\Fcal}{\mathcal{F}} \newcommand{\Hcal}{\mathcal{H}} \newcommand{\Lcal}{\mathcal{L}} \newcommand{\Kcal}{\mathcal{K}} \newcommand{\Ncal}{\mathcal{N}} \newcommand{\Dcal}{\mathcal{D}} \newcommand{\Pcal}{\mathcal{P}} \newcommand{\Qcal}{\mathcal{Q}} \newcommand{\Rcal}{\mathcal{R}} \newcommand{\Scal}{\mathcal{S}} \newcommand{\Tcal}{\mathcal{T}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % define bold face %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\Ba{{\bf a}} \def\Bb{{\bf b}} \def\Bc{{\bf c}} \def\Bd{{\bf d}} \def\Be{{\bf e}} \def\Bf{{\bf f}} \def\Bg{{\bf g}} \def\Bh{{\bf h}} \def\Bi{{\bf i}} \def\Bj{{\bf j}} \def\Bk{{\bf k}} \def\Bl{{\bf l}} \def\Bm{{\bf m}} \def\Bn{{\bf n}} \def\Bo{{\bf o}} \def\Bp{{\bf p}} \def\Bq{{\bf q}} \def\Br{{\bf r}} \def\Bs{{\bf s}} \def\Bt{{\bf t}} \def\Bu{{\bf u}} \def\Bv{{\bf v}} \def\Bw{{\bf w}} \def\Bx{{\bf x}} \def\By{{\bf y}} \def\Bz{{\bf z}} \def\BA{{\bf A}} \def\BB{{\bf B}} \def\BC{{\bf C}} \def\BD{{\bf D}} \def\BE{{\bf E}} \def\BF{{\bf F}} \def\BG{{\bf G}} \def\BH{{\bf H}} \def\BI{{\bf I}} \def\BJ{{\bf J}} \def\BK{{\bf K}} \def\BL{{\bf L}} \def\BM{{\bf M}} \def\BN{{\bf N}} \def\BO{{\bf O}} \def\BP{{\bf P}} \def\BQ{{\bf Q}} \def\BR{{\bf R}} \def\BS{{\bf S}} \def\BT{{\bf T}} \def\BU{{\bf U}} \def\BV{{\bf V}} \def\BW{{\bf W}} \def\BX{{\bf X}} \def\BY{{\bf Y}} \def\BZ{{\bf Z}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Abbreviate definitions of greek symbols %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\Ga}{\alpha} \newcommand{\Gb}{\beta} \newcommand{\Gd}{\delta} \newcommand{\Ge}{\epsilon} \newcommand{\Gve}{\varepsilon} \newcommand{\Gf}{\Gvf} \newcommand{\Gvf}{\varphi} \newcommand{\Gg}{\gamma} \newcommand{\Gc}{\chi} \newcommand{\Gi}{\iota} \newcommand{\Gk}{\kappa} \newcommand{\Gvk}{\varkappa} \newcommand{\Gl}{\lambda} \newcommand{\Gn}{\eta} \newcommand{\Gm}{\mu} \newcommand{\Gv}{\nu} \newcommand{\Gp}{\pi} \newcommand{\Gt}{\theta} \newcommand{\Gvt}{\vartheta} \newcommand{\Gr}{\rho} \newcommand{\Gvr}{\varrho} \newcommand{\Gs}{\sigma} \newcommand{\Gvs}{\varsigma} \newcommand{\Gj}{\Phi^*} \newcommand{\Gu}{\upsilon} \newcommand{\Go}{\omega} \newcommand{\Gx}{\xi} \newcommand{\Gy}{\psi} \newcommand{\Gz}{\zeta} \newcommand{\GD}{\Delta} \newcommand{\GF}{\Phi} \newcommand{\GG}{\Gamma} \newcommand{\GL}{\Lambda} \newcommand{\GP}{\Pi} \newcommand{\GT}{\Theta} \newcommand{\GS}{\Sigma} \newcommand{\GU}{\Upsilon} \newcommand{\GO}{\Omega} \newcommand{\GX}{\Xi} \newcommand{\GY}{\Psi} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\BGG}{{\bf \GG}} \newcommand{\BGf}{\mbox{\boldmath $\Gf$}} \newcommand{\BGvf}{\mbox{\boldmath $\Gvf$}} \newcommand{\Bpsi}{\mbox{\boldmath $\Gy$}} \newcommand{\wBS}{\widetilde{\BS}} \newcommand{\wGl}{\widetilde{\Gl}} \newcommand{\wGm}{\widetilde{\Gm}} \newcommand{\wGv}{\widetilde{\Gv}} \newcommand{\wBU}{\widetilde{\BU}} %%%%%%%%%% \newcommand{\Jfrak}{\mathfrak{J}} %%%%%%%%%% \newcommand{\beq}{\begin{equation}} \newcommand{\eeq}{\end{equation}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\ol{\overline} \def\bs{\backslash} \def\wt{\widetilde} \newcommand{\hatna}{\widehat{\nabla}} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\divergence}{div} \DeclareMathOperator{\Real}{Re} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $$ 熱方程式の解の初期条件への収束について

熱方程式の解の初期条件への収束について

pdfバージョンはこちらから 元のページに戻る

1次元熱方程式の Cauchy 問題 \[ \begin{cases} u_t(t, x) = u_{xx}(t, x), &(t, x) \in (0, \infty) \times \Rbb,\\ u(0, x) = f(x), &x \in \Rbb \tag{1} \end{cases} \] の解の初期条件への収束について考察する.

\(f \in L^p(\Rbb)\), \(1 \leq p \leq \infty\) のとき, 熱方程式を満たす関数 \(u\) は \[ u(t, x) = H(t, \cdot) * f (x) = \int_{-\infty}^\infty H(t, x - y) f(y)\,dy \tag{2} \] で与えられる. ただし, $$ H(t, x) = \frac{1}{2 \sqrt{\pi t}} e^{-\frac{x^2}{4t}} $$ である. この関数 \(H\) は熱核 (heat kernel) と呼ばれる.

以下の議論では, 熱核 \(H\) に関する次の事実を用いる.

熱核 \(H\) は次の性質を持つ.

  1. 任意の \((t, x) \in (0, \infty) \times \Rbb\) に対して \(H(t, x) > 0\) である.
  2. 任意の \(t \in (0, \infty)\) に対して $$ \int_{-\infty}^\infty H(t, x)\,dx = 1 $$ が成り立つ.
  3. 任意の \(\Gd > 0\) に対して, $$ \lim_{t \downarrow 0} \int_{|x| \geq \Gd} H(t, x)\,dx = 0 $$ が成り立つ.

初期条件への収束

熱核 \(H\) は \(t = 0\) で定義されないから, (2) は \(t = 0\) で意味を持たない. そこで, \(u\) の定義域を \[ u(t, x) := \begin{cases} H(t, \cdot) * f(x), & (t, x) \in (0, \infty) \times \Rbb,\\ f(x), &t = 0, x \in \Rbb \tag{3} \end{cases} \] と \([0, \infty) \times \Rbb\) 上に拡張する.

まずは初期値 \(f\) が \(\Rbb\) 上の有界連続関数であるときに (3) で定義される関数 \(u\) が \(t = 0\) で連続であることを確認する.

\(f\) を \(\Rbb\) 上の有界連続関数とする. このとき, (2) で定義される関数 \(u(t, \cdot)\) は \(t \downarrow 0\) で \(f\) に広義一様収束する.

関数 \(u\) の定義と 命題1. の1. より, \(t > 0\), \(x \in \Rbb\) で \begin{align*} |u(t, x) - f(x)| =& \left| \int_{-\infty}^\infty H(t, x - y) f(y)\,dy - \int_{-\infty}^\infty H(t, y)\,dy f(x) \right|\\ \leq& \int_{-\infty}^\infty H(t, y) |f(x - y) - f(x)|\,dy \end{align*} が成り立つ.

ここで, \(R > 0\), \(\Ge > 0\) をそれぞれ任意に取る. このとき, 関数 \(f\) は各有界閉区間上一様連続であるから, ある \(\Gd > 0\) が存在して, \(|y| < \Gd\) ならば $$ \max_{|x| \leq R} |f(x - y) - f(x)| < \Ge $$ が成り立つ. このような \(\Gd > 0\) を一つ取り, 先の評価を2つに分割する: $$ |u(t, x) - f(x)| \leq \int_{|y| < \Gd} H(t, y) |f(x - y) - f(x)|\,dy + \int_{|y| \geq \Gd} H(t, y) |f(x - y) - f(x)|\,dy. $$

この右辺の第1項は, \(\Gd\) の取り方から, \(|x| \leq R\) のとき $$ \int_{|y| < \Gd} H(t, y) |f(x - y) - f(x)|\,dy \leq \Ge \int_{|y| < \Gd} H(t, y)\,dy \leq \Ge \int_{-\infty}^\infty H(t, y)\,dy = \Ge $$ と評価される. ここで, 命題1. の2. を用いた.

右辺の第2項は $$ \int_{|y| \geq \Gd} H(t, y) |f(x - y) - f(x)|\,dy \leq 2 \left( \sup_{x \in \Rbb} |f(y)| \right) \int_{|y| \geq \Gd} H(t, y)\,dy $$ となるが, ある \(t_0 > 0\) が存在して, \(0 < t < t_0\) ならば $$ 2 \left( \sup_{x \in \Rbb} |f(y)| \right) \int_{|y| \geq \Gd} H(t, y)\,dy < \Ge $$ が成り立つ. ここで, 命題1. の3. を用いた.

以上より, 任意の \(R > 0\) と \(\Ge > 0\) に対してある \(t_0 > 0\) が存在して, \(0 < t < t_0\) ならば $$ \max_{|x| \leq R} |u(t, x) - f(x)| \leq 2\Ge $$ が成り立つ. すなわち, 関数 \(u(t, \cdot)\) は \(t \downarrow 0\) で関数 \(f\) に広義一様収束する.

\(\Box\)

以上より, \(f\) が有界連続関数であるとき, (3) で定義される関数 \(u\) は Cauchy 問題 (1) の古典解となっていることが分かった.

初期条件 \(f\) が更に良い性質を持てば, 定理1. の収束は改良される.

関数 \(f\) が \(\Rbb\) 上有界で, 一様連続であるとする. このとき, (2) で定義される関数 \(u(t, \cdot)\) は \(t \downarrow 0\) で関数 \(f\) に一様収束する.

関数 \(f\) が \(\Rbb\) 上一様連続であるから, 任意の \(\Ge > 0\) に対してある \(\Gd > 0\) が存在して, \(|y| < \Gd\) ならば $$ \sup_{x \in \Rbb} |f(x - y) - f(x)| \leq \Ge $$ が成り立つ. このような \(\Gd > 0\) を1つ取り, $$ |u(t, x) - f(x)| \leq \int_{|y| < \Gd} H(t, y) |f(x - y) - f(x)|\,dy + \int_{|y| \geq \Gd} H(t, y) |f(x - y) - f(x)|\,dy $$ と分割すれば, 定理1. の証明と同様の議論を行うことで, ある \(t_0 > 0\) が存在して, \(0 < t < t_0\) ならば $$ \sup_{x \in \Rbb} |u(t, x) - f(x)| \leq 2 \Ge $$ が成り立つことが分かる.

\(\Box\)

\(f\) を \(\Rbb\) 上の有界連続関数で, \(\lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x) = 0\) を満たすとする. このとき, (2) で定義される関数 \(u(t, \cdot)\) は \(t \downarrow 0\) で関数 \(f\) に一様収束する.

\(\Ge > 0\) を任意に1つ取る. このとき, 仮定よりある \(R \geq 0\) が存在して, \(|x| \geq R\) ならば \(|f(x)| \leq \Ge\) となる. このような \(R\) を1つ取る. 関数 \(f\) は各有界閉区間上一様連続となるから, 先の \(R\) に対してある \(\Gd > 0\) が存在して, $$ \sup_{|y| < \Gd} \max_{|x| \leq R} |f(x - y) - f(x)| \leq \Ge $$ が成り立つ.

今, \(x > R\), \(0 < y < \Gd\) のとき, $$ |f(x - y) - f(x)| \leq |f(x - y) - f(R)| + |f(R) - f(x)| \leq 3\Ge $$ であり, \(x > R\), \(- \Gd < y < 0\) のときは \(x - y > R\) より $$ |f(x - y) - f(x)| \leq 2\Ge $$ であるから, $$ \sup_{|y| < \Gd} \sup_{x > R} |f(x - y) - f(x)| \leq 3\Ge $$ である. \(x< -R\) の場合についても同様の評価が成り立つから, まとめて $$ \sup_{|y| < \Gd} \sup_{|x| > R} |f(x - y) - f(x)| \leq 3\Ge $$ が得られる.

結局 $$ \sup_{|y| < \Gd} \sup_{x \in \Rbb} |f(x - y) - f(x)| \leq 3\Ge $$ であるから, 関数 \(f\) は \(\Rbb\) 上一様連続である. したがって, 定理2. から結論が従う.

\(\Box\)

\(f\) を \(\Rbb\) 上の \(C^2\) 級関数とし, \(f\), \(f'\), \(f''\) がそれぞれ \(\Rbb\) 上有界であるとする. このとき, (2) で定義される関数 \(u(t, \cdot)\) について, その偏導関数 \(\frac{\p u}{\p t}(t, \cdot)\) は \(t \downarrow 0\) で関数 \(f''\) に広義一様収束する.

(2) で定義される関数 \(u\) は各点 \((t, x) \in (0, \infty) \times \Rbb\) で $$ \frac{\p u}{\p t}(t, x) = \int_{-\infty}^\infty \frac{\p^2 H}{\p x^2}(t, x - y) f(y)\,dy $$ を満たすが, ここで $$ \int_{-\infty}^\infty \frac{\p^2 H}{\p x^2}(t, x - y) f(y)\,dy = \int_{-\infty}^\infty \left( \frac{\p^2}{\p y^2} H(t, x - y) \right) f(y)\,dy $$ と見なして部分積分を2回行えば, $$ \int_{-\infty}^\infty \frac{\p^2 H}{\p x^2}(t, x - y) f(y)\,dy = \int_{-\infty}^\infty H(t, x - y) f''(y)\,dy $$ を得る. よって, $$ \frac{\p u}{\p t}(t, x) = \int_{-\infty}^\infty H(t, x - y) f''(y)\,dy $$ であり, これに 定理1. を適用すれば, 結論が得られる.

\(\Box\)

系2. の証明を繰り返し行うことで, 次の命題が得られる.

\(m\) を自然数とする. \(f\) を \(\Rbb\) 上の \(C^{2m}\) 級関数とし, \(0 \leq j \leq 2m\) を満たす任意の整数 \(j\) に対して \(f\) の \(j\) 階導関数 \(f^{(j)}\) が \(\Rbb\) 上有界であるとする. このとき, (2) で定義される関数 \(u(t, \cdot)\) について, その \(k\) 階偏導関数 \(\frac{\p^k u}{\p t^k}(t, \cdot)\) (\(0 \leq k \leq m\)) は \(t \downarrow 0\) で関数 \(f^{(2k)}\) に広義一様収束する. さらに, \(k \neq m\) ならば, この収束は一様収束となる.

\(f\) の \(j\) 階導関数 \(f^{(j)}\) が \(\Rbb\) 上有界ならば \(f^{(j-1)}\) は \(\Rbb\) 上 Lipschitz 連続, したがって一様連続になることに注意すると, 定理2. より \(0 \leq k \leq m-1\) ならば \(\frac{\p^k u}{\p t^k}(t, \cdot)\) が \(t \downarrow 0\) で \(f^{(2k)}\) に一様収束することが分かる.

\(\Box\)

初期値 \(f\) に連続性が仮定されない場合, (3) が初期条件を満たすことは次のように解釈される.

\(f \in L^p(\Rbb)\), \(1 \leq p < \infty\) とする. このとき, (2) で定義される関数 \(u(t, \cdot)\) に対して $$ \lim_{t \downarrow 0} \| u(t, \cdot) - f \|_{L^p(\Rbb)} = 0 $$ が成り立つ.

\(f \in L^p(\Rbb)\), \(1 \leq p < \infty\) のとき, (2) で定義される関数 \(u\) について, \(u(t, \cdot) \in L^p(\Rbb)\) が成り立つことを確認する. \(p = 1\) のとき, $$ \int_{-\infty}^\infty \left| \int_{-\infty}^\infty H(t, x - y) f(y)\,dy \right|\,dx \leq \int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty H(t, x - y)\,dx \right) |f(y)|\,dy = \int_{-\infty}^\infty |f(y)|\,dy $$ である. また, \(1 < p < \infty\) のとき, Hölder の不等式より \begin{align*} &\int_{-\infty}^\infty \left| \int_{-\infty}^\infty H(t, x - y) f(y)\,dy \right|^p\,dx\\ \leq& \int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty H(t, x - y)\,dy \right)^{p/q} \left( \int_{-\infty}^\infty H(t, x - y) |f(y)|^p\,dy \right)\,dx\\ =& \int_{-\infty}^\infty |f(y)|^p\,dy \end{align*} が成り立つ. ただし, \(q\) は \(1/p + 1/q = 1\) を満たす実数である. よって, \(1 \leq p < \infty\) で \(\| u(t, \cdot) \|_{L^p(\Rbb)} \leq \| f \|_{L^p(\Rbb)}\) が任意の \(t > 0\) で成立する.

\(C_0(\Rbb)\) を \(\Rbb\) 上の連続関数で台がコンパクトなものからなる関数空間とすると, \(C_0(\Rbb)\) は \(L^p(\Rbb)\) で稠密である. よって, 任意の \(\Ge > 0\) に対して \(\| f - f_\Ge \|_{L^p(\Rbb)} < \Ge\) を満たす \(f_\Ge \in C_0(\Rbb)\) が存在する. ここで, $$ u_\Ge(t, x) := H(t, \cdot) * f_\Ge(x) $$ とおくと, Minkowski の不等式より $$ \| u(t, \cdot) - f \|_{L^p(\Rbb)} \leq \| u(t, \cdot) - u_\Ge(t, \cdot) \|_{L^p(\Rbb)} + \| u_\Ge(t, \cdot) - f_\Ge \|_{L^p(\Rbb)} + \| f_\Ge - f \|_{L^p(\Rbb)} $$ が成り立つ.

右辺第1項については, \(u(t, \cdot)\) が \(L^p(\Rbb)\) が属することの議論において \(f\) を \(f - f_\Ge\) で置き換えることで, \(\| u(t, \cdot) - u_\Ge(t, \cdot) \|_{L^p(\Rbb)} \leq \| f - f_\Ge \|_{L^p(\Rbb)}\) が成立することが分かる.

一方, \(f_\Ge \in C_0(\Rbb)\) であるから, ある \(R > 0\) が存在して, \(|x| > R\) ならば \(f_\Ge(x) = 0\) が成り立つ. このことを踏まえて, 右辺第2項を \begin{align*} \| u_\Ge(t, \cdot) - f_\Ge \|_{L^p(\Rbb)}^p \leq \int_{|x| \leq 2R} \left| u_\Ge(t, x) - f_\Ge(x) \right|^p\,dx + \int_{|x| > 2R} \left| \int_{-\infty}^\infty H(t, x - y) f_\Ge(y)\,dy \right|^p\,dx \end{align*} と分解して評価する. この右辺の第1項は $$ \int_{|x| \leq 2R} \left| u_\Ge(t, x) - f_\Ge(x) \right|^p\,dx \leq 4R \| u_\Ge(t, \cdot) - f_\Ge \|_{L^\infty(\Rbb)}^p $$ と評価されるが, これは 系1. より \(t \downarrow 0\) で \(0\) に収束する. また, 右辺の第2項は \begin{align*} \int_{|x| > 2R} \left| \int_{-\infty}^\infty H(t, x - y) f_\Ge(y)\,dy \right|^p\,dx =& \int_{|x| > 2R} \left| \int_{|y| < R} H(t, x - y) f_\Ge(y)\,dy \right|^p\,dx\\ \leq& \int_{|x| > 2R} \left(\int_{|y| < R} H(t, x - y) |f_\Ge(y)|^p\,dy \right) \,dx\\ \leq& \| f_\Ge \|_{L^\infty(\Rbb)}^p \int_{|y| < R} \left(\int_{|z + y| > 2R} H(t, z)\,dz \right)\,dy\\ \leq& 2R \| f_\Ge \|_{L^\infty(\Rbb)}^p \int_{|z| > R} H(t, z)\,dz \end{align*} と評価されるが, これは 命題1. の3. より \(t \downarrow 0\) で \(0\) に収束する.

これらの評価をまとめて, $$ \lim_{t \downarrow 0} \| u(t, \cdot) - f \|_{L^p(\Rbb)} \leq 2\| f - f_\Ge \|_{L^p(\Rbb)} < 2 \Ge $$ が得られる. \(\Ge > 0\) は任意であったから, $$ \lim_{t \downarrow 0} \| u(t, \cdot) - f \|_{L^p(\Rbb)} = 0 $$ が証明された.

\(\Box\)

今後の課題

系2. では, (2) で定義される関数 \(u(t, \cdot)\) について, その偏導関数 \(\frac{\p u}{\p t}(t, \cdot)\) が \(t \downarrow 0\) である関数に広義一様収束するための十分条件を述べた. 逆に, 系2. の仮定は \(\frac{\p u}{\p t}(t, \cdot)\) が \(t \downarrow 0\) である関数に広義一様収束するための必要条件となっているか? 各点収束や一様収束の場合はどうか?

参考文献

  1. W. Craig, A Course on Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics 197, American Mathematical Society, USA (2018).