$$ \newcommand{\pv}{\mbox{p.v.}} \newcommand{\nm}{\noalign{\smallskip}} %\newcommand{\qed}{ $\Box$} \newcommand{\ds}{\displaystyle} %\newcommand{\pf}{\noindent {\sl Proof}. \ } \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\pd}[2]{\frac {\p #1}{\p #2}} \newcommand{\eqnref}[1]{(\ref {#1})} \newcommand{\Abb}{\mathbb{A}} \newcommand{\Cbb}{\mathbb{C}} \newcommand{\Hbb}{\mathbb{H}} \newcommand{\Ibb}{\mathbb{I}} \newcommand{\Nbb}{\mathbb{N}} \newcommand{\Kbb}{\mathbb{K}} \newcommand{\Rbb}{\mathbb{R}} \newcommand{\Sbb}{\mathbb{S}} \renewcommand{\div}{\mbox{div}\,} \newcommand{\la}{\langle} \newcommand{\ra}{\rangle} \newcommand{\Acal}{\mathcal{A}} \newcommand{\Bcal}{\mathcal{B}} \newcommand{\Ccal}{\mathcal{C}} \newcommand{\Ecal}{\mathcal{E}} \newcommand{\Fcal}{\mathcal{F}} \newcommand{\Hcal}{\mathcal{H}} \newcommand{\Lcal}{\mathcal{L}} \newcommand{\Kcal}{\mathcal{K}} \newcommand{\Ncal}{\mathcal{N}} \newcommand{\Dcal}{\mathcal{D}} \newcommand{\Pcal}{\mathcal{P}} \newcommand{\Qcal}{\mathcal{Q}} \newcommand{\Rcal}{\mathcal{R}} \newcommand{\Scal}{\mathcal{S}} \newcommand{\Tcal}{\mathcal{T}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % define bold face %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\Ba{{\bf a}} \def\Bb{{\bf b}} \def\Bc{{\bf c}} \def\Bd{{\bf d}} \def\Be{{\bf e}} \def\Bf{{\bf f}} \def\Bg{{\bf g}} \def\Bh{{\bf h}} \def\Bi{{\bf i}} \def\Bj{{\bf j}} \def\Bk{{\bf k}} \def\Bl{{\bf l}} \def\Bm{{\bf m}} \def\Bn{{\bf n}} \def\Bo{{\bf o}} \def\Bp{{\bf p}} \def\Bq{{\bf q}} \def\Br{{\bf r}} \def\Bs{{\bf s}} \def\Bt{{\bf t}} \def\Bu{{\bf u}} \def\Bv{{\bf v}} \def\Bw{{\bf w}} \def\Bx{{\bf x}} \def\By{{\bf y}} \def\Bz{{\bf z}} \def\BA{{\bf A}} \def\BB{{\bf B}} \def\BC{{\bf C}} \def\BD{{\bf D}} \def\BE{{\bf E}} \def\BF{{\bf F}} \def\BG{{\bf G}} \def\BH{{\bf H}} \def\BI{{\bf I}} \def\BJ{{\bf J}} \def\BK{{\bf K}} \def\BL{{\bf L}} \def\BM{{\bf M}} \def\BN{{\bf N}} \def\BO{{\bf O}} \def\BP{{\bf P}} \def\BQ{{\bf Q}} \def\BR{{\bf R}} \def\BS{{\bf S}} \def\BT{{\bf T}} \def\BU{{\bf U}} \def\BV{{\bf V}} \def\BW{{\bf W}} \def\BX{{\bf X}} \def\BY{{\bf Y}} \def\BZ{{\bf Z}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Abbreviate definitions of greek symbols %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\Ga}{\alpha} \newcommand{\Gb}{\beta} \newcommand{\Gd}{\delta} \newcommand{\Ge}{\epsilon} \newcommand{\Gve}{\varepsilon} \newcommand{\Gf}{\Gvf} \newcommand{\Gvf}{\varphi} \newcommand{\Gg}{\gamma} \newcommand{\Gc}{\chi} \newcommand{\Gi}{\iota} \newcommand{\Gk}{\kappa} \newcommand{\Gvk}{\varkappa} \newcommand{\Gl}{\lambda} \newcommand{\Gn}{\eta} \newcommand{\Gm}{\mu} \newcommand{\Gv}{\nu} \newcommand{\Gp}{\pi} \newcommand{\Gt}{\theta} \newcommand{\Gvt}{\vartheta} \newcommand{\Gr}{\rho} \newcommand{\Gvr}{\varrho} \newcommand{\Gs}{\sigma} \newcommand{\Gvs}{\varsigma} \newcommand{\Gj}{\Phi^*} \newcommand{\Gu}{\upsilon} \newcommand{\Go}{\omega} \newcommand{\Gx}{\xi} \newcommand{\Gy}{\psi} \newcommand{\Gz}{\zeta} \newcommand{\GD}{\Delta} \newcommand{\GF}{\Phi} \newcommand{\GG}{\Gamma} \newcommand{\GL}{\Lambda} \newcommand{\GP}{\Pi} \newcommand{\GT}{\Theta} \newcommand{\GS}{\Sigma} \newcommand{\GU}{\Upsilon} \newcommand{\GO}{\Omega} \newcommand{\GX}{\Xi} \newcommand{\GY}{\Psi} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\BGG}{{\bf \GG}} \newcommand{\BGf}{\mbox{\boldmath $\Gf$}} \newcommand{\BGvf}{\mbox{\boldmath $\Gvf$}} \newcommand{\Bpsi}{\mbox{\boldmath $\Gy$}} \newcommand{\wBS}{\widetilde{\BS}} \newcommand{\wGl}{\widetilde{\Gl}} \newcommand{\wGm}{\widetilde{\Gm}} \newcommand{\wGv}{\widetilde{\Gv}} \newcommand{\wBU}{\widetilde{\BU}} %%%%%%%%%% \newcommand{\Jfrak}{\mathfrak{J}} %%%%%%%%%% \newcommand{\beq}{\begin{equation}} \newcommand{\eeq}{\end{equation}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\ol{\overline} \def\bs{\backslash} \def\wt{\widetilde} \newcommand{\hatna}{\widehat{\nabla}} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\divergence}{div} \DeclareMathOperator{\Real}{Re} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $$ 1次元の熱核について

1次元の熱核について

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1次元熱方程式の Cauchy 問題 \[ \begin{cases} u_t(t, x) = u_{xx}(t, x), (t, x) \in (0, \infty) \times \Rbb,\\ u(0, x) = f(x), \quad x \in \Rbb \tag{1} \end{cases} \] の解の基本解である熱核 (heat kernel) を発見的考察により導出し, その性質を調査する.

Cauchy 問題 (1) の解の表示について考察する. Cauchy 問題 (1) を形式的に (\(x\) 変数について) Fourier 変換すると \[ \begin{cases} \hat{u}_t(t, \xi) = -\xi^2 u(t, \xi), (t, \xi) \in (0, \infty) \times \Rbb,\\ \hat{u}(0, \xi) = \hat{f}(\xi), \quad \xi \in \Rbb \tag{2} \end{cases} \] となる. ただし, $$ \hat{f}(\xi) = \Fcal[f](\Gx) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i x \xi}\,dx $$ である. 得られた Cauchy 問題 (2) を解くと, $$ \hat{u}(t, \xi) = \hat{f}(\xi) e^{- \xi^2 t} $$ が得られる.

ここで, Fourier 変換の公式を思い出しておこう.

\(f, g \in \Scal_x\) に対して $$ \Fcal[f * g](\xi) = \sqrt{2\pi} \Fcal[f](\xi) \Fcal[g](\xi) $$ が成り立つ. ただし, $$ f * g(x) := \int_{-\infty}^\infty f(x - y) g(y)\,dy $$ である.

\(f, g \in \Scal_x\) に対して \begin{align*} \Fcal[f * g](\xi) =& \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty f * g(x) e^{-i x \xi}\,dx\\ =& \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x - y) g(y)\,dy e^{-i x \xi}\,dx\\ =& \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^\infty f(x - y) e^{- i(x - y)\xi}\,dx \right) g(y)e^{-i y \xi} \,dy\\ =& \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^\infty f(z) e^{- i z \xi}\,dz \right) g(y)e^{-i y \xi} \,dy\\ =& \sqrt{2\pi} \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty f(z) e^{- i z \xi}\,dz \right) \left( \int_{-\infty}^\infty g(y)e^{-i y \xi} \,dy \right)\\ =& \sqrt{2\pi} \Fcal[f](\xi) \Fcal[g](\xi) \end{align*} である. 以上より, 主張の等式が示された.

\(\Box\)

\(\Rbb\) 上の2つの関数 \(f, g\) に対して, 関数 $$ f * g(x) := \int_{-\infty}^\infty f(x - y) g(y)\,dy $$ を \(f\) と \(g\) の畳み込み積 (convolution) という.

\(\hat{f} \in \Scal_\xi\) に対して, \(f\) の逆 Fourier 変換 \(\Fcal^{-1}[\hat{f}]\) を $$ \Fcal^{-1}[\hat{f}](x) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\Gx) e^{i x \xi}\,d\xi $$ で定義する. このとき, \(\hat{f}, \hat{g} \in \Scal_\xi\) に対して, $$ \Fcal^{-1}[\hat{f} \hat{g}](x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \Fcal^{-1}[\hat{f}] * \Fcal^{-1}[\hat{g}](x) $$ が成り立つ.

補題2. は 補題1. の等式の両辺を逆 Fourier 変換し, 反転公式 $$ \Fcal^{-1}[\Fcal[f]](x) = f(x) $$ に注意すれば得られる.

これを利用して, Cauchy 問題 (2) の解を形式的に逆 Fourier 変換すれば, \[ u(t, x) = H(t, \cdot) * f (x) \tag{3} \] が得られる. ただし, $$ H(t, x) := \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{-\xi^2 t} e^{i \xi x}\,d\xi $$ である. この積分は \(t = 0\) では定義されないが, \((t, x) \in (0, \infty) \times \Rbb\) では定義されることに注意する. (\(t > 0\) のときは \(e^{-\xi^2 t}\) が可積分な優関数となる.)

\((t, x) \in (0, \infty) \times \Rbb\) において, 関数 \(H\) の積分を実行する. Cauchy の積分定理より, $$ \int_{-\infty}^\infty e^{-\xi^2 t} e^{i \xi x}\,d\xi = \int_{-\infty}^\infty e^{-t (\xi - \frac{ix}{2t})^2} e^{-\frac{x^2}{4t}}\,d\xi = e^{-\frac{x^2}{4t}} \int_{-\infty}^\infty e^{-t \xi^2}\,d\xi = \sqrt{\frac{\pi}{t}} e^{-\frac{x^2}{4t}} $$ である. したがって, \[ H(t, x) = \frac{1}{2 \sqrt{\pi t}} e^{-\frac{x^2}{4t}} \tag{4} \] である.

(4) で定義される関数 \(H\) のことを熱核 (heat kernel) と呼ぶ.

熱核 \(H\) は次の性質を持つ.

  1. \(H \in C^\infty((0, \infty) \times \Rbb)\) である.
  2. 任意の \((t, x) \in (0, \infty) \times \Rbb\) に対して \(H(t, x) > 0\) である.
  3. 任意の \(t \in (0, \infty)\) に対して $$ \int_{-\infty}^\infty H(t, x)\,dx = 1 $$ が成り立つ.
  4. 任意の \(\Gd > 0\) に対して, $$ \lim_{t \downarrow 0} \int_{|x| \geq \Gd} H(t, x)\,dx = 0 $$ が成り立つ.
  5. 任意の \((t, x) \in (0, \infty) \times \Rbb\) に対して, $$ \frac{\p H}{\p t}(t, x) = \frac{\p^2 H}{\p x^2}(t, x) $$ が成り立つ.

1. から 3. は自明である.

4. は, 積分変数を \(x\) から \(z := x/2\sqrt{t}\) と変数変換すれば, $$ \int_{|x| \geq \Gd} H(t, x)\,dx = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{|z| > \Gd/(2\sqrt{t})} e^{-z^2}\,dz $$ となるが, \(e^{-z^2}\) は \(\Rbb\) 上可積分であったから, この式の右辺は \(t \downarrow 0\) で 0 に収束する.

5. について, 実際に関数 $H$ を微分すると, \begin{align*} \frac{\p H}{\p t}(t, x) =& \left( -\frac{1}{4\sqrt{\pi t^3}} + \frac{x^2}{8\sqrt{\pi t^5}} \right) e^{-\frac{x^2}{4t}},\\ \frac{\p H}{\p x}(t, x) =& -\frac{x}{4\sqrt{\pi t^3}} e^{-\frac{x^2}{4t}},\\ \frac{\p^2 H}{\p x^2}(t, x) =&\left( -\frac{1}{4\sqrt{\pi t^3}} + \frac{x^2}{8\sqrt{\pi t^5}} \right) e^{-\frac{x^2}{4t}} \end{align*} となり, 確かに 5. が成り立つ.

\(\Box\)

(3) で定義される関数 \(u\) が熱方程式を満たすことを見るために次の補題を用意する.

\((t_0, x_0) \in (0, \infty) \times \Rbb\) を1つ固定する. このとき, 関数 \(h\) を $$ h(y) := \left( \frac{1}{4\sqrt{\pi t_0^3}} + \frac{(x_0 -y)^2}{8\sqrt{\pi t_0^5}} \right) e^{-\frac{(x_0 - y)^2}{4t_0}} $$ と定義すると, \(h \in L^1(\Rbb) \cap L^\infty(\Rbb)\) が成り立つ.

$$ \sup_{z \in \Rbb} z^2 e^{-\frac{z^2}{4 t_0}} = 4 t_0 \sup_{x \in \Rbb} x^2 e^{-x^2} = \frac{4 t_0}{e} $$ より $$ \sup_{y \in \Rbb} |h(y)| = \sup_{y \in \Rbb} \left| \frac{\p H}{\p t}(t_0, x_0 - y) \right| \leq \frac{1}{4\sqrt{\pi t_0^3}} + \frac{1}{2e\sqrt{\pi t_0^3}} = \frac{e + 2}{4e\sqrt{\pi t_0^3}} $$ である. よって, \(h \in L^\infty(\Rbb)\) である. また, \begin{align*} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{x^2}{4 t_0^2}}\,dx =& 2 \sqrt{\pi t_0},\\ \int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-\frac{x^2}{4 t_0^2}}\,dx =& 4 \sqrt{\pi t_0^3} \end{align*} であるから, $$ \int_{-\infty}^\infty |h(y)|\,dy \leq \frac{1}{4 \sqrt{\pi t_0}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{(x_0 - y)^2}{4 t_0}}\,dy + \frac{1}{8 \sqrt{\pi t_0^5}} \int_{-\infty}^\infty (x_0 - y)^2 e^{-\frac{(x_0 - y)^2}{4 t_0}}\,dy = \frac{1}{t_0} $$ である. よって, \(h \in L^1(\Rbb)\). 以上より, 結論が示された.

\(\Box\)

\(f \in L^\infty(\Rbb)\) のとき, (3) で定義される関数 \(u\) は \((0, \infty) \times \Rbb\) の各点で熱方程式を満たす.

命題1. の性質 5. より, 任意の \((t, x) \in (0, \infty) \times \Rbb\) に対して $$ \frac{\p u}{\p t}(t, x) = \int_{-\infty}^\infty \frac{\p H}{\p t}(t, x - y) f(y)\,dy = \int_{-\infty}^\infty \frac{\p^2 H}{\p x^2}(t, x - y) f(y)\,dy = \frac{\p^2 u}{\p x^2}(t, x) $$ が成り立つ. ここで, 微分と積分の順序交換を実行したが, \((t_0, x_0) \in (0, \infty) \times \Rbb\) を固定したときに $$ F(y) := \sup_{x \in \Rbb} |f(x)| |h(y)| $$ が可積分な優関数として取れるので, 順序交換は正当化される. (厳密には \((t_0, x_0) \in (0, \infty) \times \Rbb$\) を1つ固定したときに \((t_0, x_0)\) の近傍をとり, その近傍上で一様な優関数を取らなければならないが, \(t_0 > 0\) である限り \(t > 0\) の範囲で近傍が取れるので問題ない.) したがって, \((0, \infty) \times \Rbb\) の各点で \(u\) が熱方程式を満たすことが確認された.

\(\Box\)

\(f \in L^1(\Rbb)\) のとき, (3) で定義される関数 \(u\) は \((0, \infty) \times \Rbb\) の各点で熱方程式を満たす.

可積分な優関数として $$ F(y) := |f(y)| \sup_{y \in \Rbb} |h(y)| $$ を取れば, 定理1. の証明と同様にして 定理2. が示される.

\(\Box\)

\(1 \leq p \leq \infty\) とする. \(f \in L^p(\Rbb)\) のとき, (3) で定義される関数 \(u\) は \((0, \infty) \times \Rbb\) の各点で熱方程式を満たす.

\(1 \leq q \leq \infty\) を \(1/p + 1/q = 1\) を満たすように取る. このとき, $$ \int_{-\infty}^\infty |h(y)|^q \,dy \leq \| h \|_{L^\infty(\Rbb)}^{q - 1} \| h \|_{L^1(\Rbb)} $$ であるから, \(h \in L^q(\Rbb)\) である. よって, Hölder の不等式より \(hf \in L^1(\Rbb)\) である. また, 関数 \(h\) の定義より $$ \left| \frac{\p H}{\p t}(t_0, x_0 - y) \right| |f(y)| \leq |h(y)| |f(y)| $$ である. したがって, 定理1. の証明と同様にして 系1. が示される.

\(\Box\)

参考文献

  1. W. Craig, A Course on Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics 197, American Mathematical Society, USA (2018).