$$
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\DeclareMathOperator{\divergence}{div}
\DeclareMathOperator{\Real}{Re}
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$$
熱方程式の解の重み付き最大値評価
1次元熱方程式の Cauchy 問題
\[
\begin{cases}
u_t(t, x) = u_{xx}(t, x), &(t, x) \in (0, \infty) \times \Rbb,\\
u(0, x) = f(x), & x \in \Rbb \tag{1}
\end{cases}
\]
の解の重み付き最大値評価について考察する.
初期値 \(f\) が \(\Rbb\) 上の有界連続関数であるとき, 熱方程式を満たす関数 \(u\) は
\[
u(t, x) = H(t, \cdot) * f (x) = \int_{-\infty}^\infty H(t, x - y) f(y)\,dy \tag{2}
\]
で与えられる. ただし,
$$
H(t, x) = \frac{1}{2 \sqrt{\pi t}} e^{-\frac{x^2}{4t}}
$$
である. この関数 \(H\) は熱核 (heat kernel) と呼ばれる. 以下の議論は解の表示式 (2) に基づく.
解の重み付き最大値評価
(2) で定義された関数 \(u\) の \(x\) 変数に関する重み付き最大値評価について考察する.
\(f\) を \(\Rbb\) 上の有界連続関数とし, \(M := \sup_{x \in \Rbb} |f(x)|\) とおく. このとき, (2) で定義される関数 \(u(t, \cdot)\) について, 任意の \(t > 0\) と任意の \(j \geq 0\) に対してある \(C_{j, t} > 0\) が存在して,
$$
\sup_{x \in \Rbb} \left| \frac{\p^j u}{\p x^j} (t, x) \right| \leq C_{j, t} M
$$
が成り立つ.
\(j = 0\) のとき,
$$
\int_{-\infty}^\infty H(t, x)\,dx = 1
$$
より, 任意の \((t, x) \in (0, \infty) \times \Rbb\) に対して
$$
|u(t, x)| \leq \int_{-\infty}^\infty H(t, x - y) |f(y)|\,dy \leq M \int_{-\infty}^\infty H(t, x - y)\,dy = M
$$
が成り立つ.
\(j \in \Nbb\) のとき, 関数 \(H\) を \(x\) について \(j\) 回微分して
$$
\frac{\p^j H}{\p x^j}(t, x) = p_{j, t}(x) H(t, x)
$$
を得る. ただし, $p_{j, t}(x)$ は $x$ についての \(j\) 次多項式で, その係数は一般に \(t\) に依存するものである. 関数 \(H\) の性質から, ある定数 \(C_{j, t} > 0\) が存在して, 任意の \(x \in \Rbb\) に対して
$$
| p_{j, t}(x) H(t, x) | \leq c_{j, t} \la x \ra^{-2}
$$
が成り立つ. ただし,
$$
\la x \ra := \sqrt{1 + |x|^2}
$$
である.
明らかに \(\la \cdot \ra \in L^1(\Rbb)\) であるから, \(C_{j, t} := c_{j, t} \| \la \cdot \ra \|_{L^1(\Rbb)}\) とおけば,
$$
\sup_{x \in \Rbb} \left| \frac{\p^j u}{\p x^j}(t, x) \right| \leq C_{j, t} M
$$
が成り立つ.
\(\Box\)
\(f\) を \(\Rbb\) 上の連続関数とし, ある \(m \in \Nbb\) が存在して, \(M_m := \sup_{x \in \Rbb} |x|^m |f(x)| < \infty\) が成り立つとする. このとき, (2) で定義される関数 \(u(t, \cdot)\) について, 任意の \(t > 0\) と任意の \(j \geq 0\) に対してある \(C_{j, t} > 0\) が存在して,
$$
\max_{0 \leq k \leq m} \sup_{x \in \Rbb} |x|^k \left| \frac{\p^j u}{\p x^j} (t, x) \right| \leq C_{j, t}
$$
が成り立つ.
関数 \(f\) は \(\Rbb\) 上連続であるから区間 \([-1, 1]\) 上有界であり, したがって任意の \(k \in \Nbb\) に対して,
$$
\max_{|x| \leq 1} |x|^k |f(x)| \leq \max_{|x| \leq 1} |f(x)| < \infty
$$
である. また, ある \(m \in \Nbb\) について \(M_m < \infty\) ならば, 任意の \(0 \leq k \leq m\) について
$$
\sup_{|x| > 1} |x|^k |f(x)| \leq \sup_{|x| > 1} |x|^m |f(x)| \leq M_m < \infty
$$
である. よって, ある \(m \in \Nbb\) について \(M_m < \infty\) ならば, 任意の \(0 \leq k \leq m\) について \(M_k < \infty\) が成り立つ.
\(k = 0\) の場合については, 定理1. より評価が得られる. \(1 \leq k \leq m\) の場合は, 任意の \(x, y \in \Rbb\) に対して \(|x|^k \leq 2^{k-1} (|x - y|^k + |y|^k)\) が成立することを利用すると, 任意の \(x \in \Rbb\), \(j \geq 0\) について
\begin{align*}
|x|^k \left| \frac{\p^j u}{\p x^j}(t, x) \right| \leq& 2^{k - 1} \int_{-\infty}^\infty |x - y|^k |p_{j, t}(x - y)| H(t, x - y) |f(y)|\,dy\\
+& 2^{k - 1} \int_{-\infty}^\infty |p_{j, t}(x - y)| H(t, x - y) |y|^k |f(y)|\,dy\\
\leq& 2^{m - 1} M_0 \int_{-\infty}^\infty |z|^k |p_{j, t}(z)| H(t, z)\,dz\\
&+ 2^{m - 1} M_k \int_{-\infty}^\infty |p_{j, t}(z)| H(t, z)\,dz
\end{align*}
が成り立ち, 定理1. の証明と同様にしてこの右辺はある定数 \(C_{j, t}\) で評価される. したがって, 結論が証明された.
\(\Box\)
これを任意の \(m \in \Nbb\) に適用すれば, 以下の結論を得る.
\(f\) を \(\Rbb\) 上の連続関数とし, 任意の \(m \in \Nbb\) に対して \(M_m := \sup_{x \in \Rbb} |x|^m |f(x)| < \infty\) が成り立つとする. このとき, (2) で定義される関数 \(u(t, \cdot)\) について, 任意の \(t > 0\) に対して \(u(t, \cdot) \in \Scal_x\) となる.
参考文献
- W. Craig, A Course on Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics 197, American Mathematical Society, USA (2018).