熱方程式の解のモーメント評価

$$ \newcommand{\pv}{\mbox{p.v.}} \newcommand{\nm}{\noalign{\smallskip}} %\newcommand{\qed}{ $\Box$} \newcommand{\ds}{\displaystyle} %\newcommand{\pf}{\noindent {\sl Proof}. \ } \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\pd}[2]{\frac {\p #1}{\p #2}} \newcommand{\eqnref}[1]{(\ref {#1})} \newcommand{\Abb}{\mathbb{A}} \newcommand{\Cbb}{\mathbb{C}} \newcommand{\Hbb}{\mathbb{H}} \newcommand{\Ibb}{\mathbb{I}} \newcommand{\Nbb}{\mathbb{N}} \newcommand{\Kbb}{\mathbb{K}} \newcommand{\Rbb}{\mathbb{R}} \newcommand{\Sbb}{\mathbb{S}} \renewcommand{\div}{\mbox{div}\,} \newcommand{\la}{\langle} \newcommand{\ra}{\rangle} \newcommand{\Acal}{\mathcal{A}} \newcommand{\Bcal}{\mathcal{B}} \newcommand{\Ccal}{\mathcal{C}} \newcommand{\Ecal}{\mathcal{E}} \newcommand{\Fcal}{\mathcal{F}} \newcommand{\Hcal}{\mathcal{H}} \newcommand{\Lcal}{\mathcal{L}} \newcommand{\Kcal}{\mathcal{K}} \newcommand{\Ncal}{\mathcal{N}} \newcommand{\Dcal}{\mathcal{D}} \newcommand{\Pcal}{\mathcal{P}} \newcommand{\Qcal}{\mathcal{Q}} \newcommand{\Rcal}{\mathcal{R}} \newcommand{\Scal}{\mathcal{S}} \newcommand{\Tcal}{\mathcal{T}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % define bold face %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\Ba{{\bf a}} \def\Bb{{\bf b}} \def\Bc{{\bf c}} \def\Bd{{\bf d}} \def\Be{{\bf e}} \def\Bf{{\bf f}} \def\Bg{{\bf g}} \def\Bh{{\bf h}} \def\Bi{{\bf i}} \def\Bj{{\bf j}} \def\Bk{{\bf k}} \def\Bl{{\bf l}} \def\Bm{{\bf m}} \def\Bn{{\bf n}} \def\Bo{{\bf o}} \def\Bp{{\bf p}} \def\Bq{{\bf q}} \def\Br{{\bf r}} \def\Bs{{\bf s}} \def\Bt{{\bf t}} \def\Bu{{\bf u}} \def\Bv{{\bf v}} \def\Bw{{\bf w}} \def\Bx{{\bf x}} \def\By{{\bf y}} \def\Bz{{\bf z}} \def\BA{{\bf A}} \def\BB{{\bf B}} \def\BC{{\bf C}} \def\BD{{\bf D}} \def\BE{{\bf E}} \def\BF{{\bf F}} \def\BG{{\bf G}} \def\BH{{\bf H}} \def\BI{{\bf I}} \def\BJ{{\bf J}} \def\BK{{\bf K}} \def\BL{{\bf L}} \def\BM{{\bf M}} \def\BN{{\bf N}} \def\BO{{\bf O}} \def\BP{{\bf P}} \def\BQ{{\bf Q}} \def\BR{{\bf R}} \def\BS{{\bf S}} \def\BT{{\bf T}} \def\BU{{\bf U}} \def\BV{{\bf V}} \def\BW{{\bf W}} \def\BX{{\bf X}} \def\BY{{\bf Y}} \def\BZ{{\bf Z}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Abbreviate definitions of greek symbols %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\Ga}{\alpha} \newcommand{\Gb}{\beta} \newcommand{\Gd}{\delta} \newcommand{\Ge}{\epsilon} \newcommand{\Gve}{\varepsilon} \newcommand{\Gf}{\Gvf} \newcommand{\Gvf}{\varphi} \newcommand{\Gg}{\gamma} \newcommand{\Gc}{\chi} \newcommand{\Gi}{\iota} \newcommand{\Gk}{\kappa} \newcommand{\Gvk}{\varkappa} \newcommand{\Gl}{\lambda} \newcommand{\Gn}{\eta} \newcommand{\Gm}{\mu} \newcommand{\Gv}{\nu} \newcommand{\Gp}{\pi} \newcommand{\Gt}{\theta} \newcommand{\Gvt}{\vartheta} \newcommand{\Gr}{\rho} \newcommand{\Gvr}{\varrho} \newcommand{\Gs}{\sigma} \newcommand{\Gvs}{\varsigma} \newcommand{\Gj}{\Phi^*} \newcommand{\Gu}{\upsilon} \newcommand{\Go}{\omega} \newcommand{\Gx}{\xi} \newcommand{\Gy}{\psi} \newcommand{\Gz}{\zeta} \newcommand{\GD}{\Delta} \newcommand{\GF}{\Phi} \newcommand{\GG}{\Gamma} \newcommand{\GL}{\Lambda} \newcommand{\GP}{\Pi} \newcommand{\GT}{\Theta} \newcommand{\GS}{\Sigma} \newcommand{\GU}{\Upsilon} \newcommand{\GO}{\Omega} \newcommand{\GX}{\Xi} \newcommand{\GY}{\Psi} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\BGG}{{\bf \GG}} \newcommand{\BGf}{\mbox{\boldmath $\Gf$}} \newcommand{\BGvf}{\mbox{\boldmath $\Gvf$}} \newcommand{\Bpsi}{\mbox{\boldmath $\Gy$}} \newcommand{\wBS}{\widetilde{\BS}} \newcommand{\wGl}{\widetilde{\Gl}} \newcommand{\wGm}{\widetilde{\Gm}} \newcommand{\wGv}{\widetilde{\Gv}} \newcommand{\wBU}{\widetilde{\BU}} %%%%%%%%%% \newcommand{\Jfrak}{\mathfrak{J}} %%%%%%%%%% \newcommand{\beq}{\begin{equation}} \newcommand{\eeq}{\end{equation}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\ol{\overline} \def\bs{\backslash} \def\wt{\widetilde} \newcommand{\hatna}{\widehat{\nabla}} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\divergence}{div} \DeclareMathOperator{\Real}{Re} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $$ 熱方程式の解のモーメント評価

熱方程式の解のモーメント評価

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$f \in L^1(\Rbb^n)$ とし, $n$ 次元熱方程式の Cauchy 問題 \[ \begin{cases} u_t(t, x) = u_{xx}(t, x), (t, x) \in \Rbb_+ \times \Rbb^n,\\ u(0, x) = f(x), \quad x \in \Rbb^n \tag{1} \end{cases} \] の解のモーメントについて考察する. ここで, $\Rbb^n$ 上の関数 $g$ に対して, $g$ の (2次までの) モーメント $m_0$, $m_{1, j}$, $j = 1, \ldots, n$, $g_2$ は \begin{align*} m_0(g) :=& \int_{\Rbb^n} g(x)\,dx,\\ m_{1, j}(g) :=& \int_{\Rbb^n} x_j g(x)\,dx, \quad j = 1, \ldots, n,\\ m_2(g) :=& \int_{\Rbb^n} |x|^2 g(x)\,dx \end{align*} で与えられるものである. この定義は Boltzmann 方程式の解に対応する巨視的変数の定義を参考にした.

熱方程式の解の0次モーメント

$n$ 次元熱方程式の基本解は $$ H_n(t, x) := \frac{1}{(4 \pi t)^{n/2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}} $$ であった. よって, Cauchy 問題 (1) の解は $$ u(t, x) = H_n * f(t, x) = \frac{1}{(4 \pi t)^{n/2}} \int_{\Rbb^n} e^{-\frac{|x - y|^2}{4t}} f(y)\,dy $$ と書ける.

この表示を踏まえて Cauchy 問題 (1) の解の0次モーメントを計算すると, Fubini の定理より \begin{align*} m_0(u(t, \cdot)) =& \int_{\Rbb^n} u(t, x)\,dx\\ =& \frac{1}{(4 \pi t)^{n/2}} \int_{\Rbb^n} \left(\int_{\Rbb^n} e^{-\frac{|x - y|^2}{4t}} f(y)\,dy \right)\,dx\\ =& \int_{\Rbb^n} \left(\int_{\Rbb^n} \frac{1}{(4 \pi t)^{n/2}} e^{-\frac{|x - y|^2}{4t}}\,dx \right)f(y)\,dy\\ =& \int_{\Rbb^n} f(y)\,dy = m_0(f) \end{align*} が得られる.

熱方程式の解の1次モーメント

1次モーメントについては, $|\cdot| f \in L^1(\Rbb^n)$ を仮定すると, Fubini の定理より \begin{align*} m_{1, j}(u(t, \cdot)) =& \int_{\Rbb^n} x_j u(t, x)\,dx\\ =& \frac{1}{(4 \pi t)^{n/2}} \int_{\Rbb^n} x_j \left(\int_{\Rbb^n} e^{-\frac{|x - y|^2}{4t}} f(y)\,dy \right)\,dx\\ =& \int_{\Rbb^n} \left(\int_{\Rbb^n} \frac{1}{(4 \pi t)^{n/2}} x_j e^{-\frac{|x - y|^2}{4t}}\,dx \right)f(y)\,dy \end{align*} となる. ここで, \begin{align*} \int_{\Rbb^n} x_j e^{-\frac{|x - y|^2}{4t}}\,dx =& \int_{\Rbb} (x_j - y_j) e^{-\frac{(x_j - y_j)^2}{4t}}\,dx_j \prod_{k \neq j} \int_{\Rbb} e^{-\frac{(x_k - y_k)^2}{4t}}\,dx_k\\ &+ y_j \int_{\Rbb^n} \frac{1}{(4 \pi t)^{n/2}} e^{-\frac{|x - y|^2}{4t}}\,dx \end{align*} と式変形する. 右辺第1項は奇関数の積分となるから0であり, 右辺第2項は $y_j (4 \pi t)^{n/2}$ である. よって, $$ m_{1, j}(u(t, \cdot)) = \int_{\Rbb^n} y_j f(y)\,dy = m_{1, j}(f) $$ である.

条件 $|\cdot| f \in L^1(\Rbb^n)$ により, 函数 $f$ の Fourier 変換像 $\hat{f}$ は $C^1$ 級となる. よって, Craig \cite{C} の1次元のモーメント評価が正当化され, これが $n$ 次元の場合に拡張される.

熱方程式の解の2次モーメント

2次モーメントについては, $f \geq 0$ を仮定すると, Fubini の定理より \begin{align*} m_2(u(t, \cdot)) =& \int_{\Rbb^n} |x|^2 u(t, x)\,dx\\ =& \frac{1}{(4 \pi t)^{n/2}} \int_{\Rbb^n} |x|^2 \left(\int_{\Rbb^n} e^{-\frac{|x - y|^2}{4t}} f(y)\,dy \right)\,dx\\ =& \int_{\Rbb^n} \left(\int_{\Rbb^n} \frac{1}{(4 \pi t)^{n/2}} |x|^2 e^{-\frac{|x - y|^2}{4t}}\,dx \right)f(y)\,dy \end{align*} となる. ただし, この計算では, $m_2(u(t, \cdot)) = \infty$ となることを許容している. ここで, \begin{align*} \int_{\Rbb^n} |x|^2 e^{-\frac{|x - y|^2}{4t}}\,dx =& \sum_{j = 1}^n \int_{\Rbb^n} x_j^2 e^{-\frac{|x - y|^2}{4t}}\,dx\\ =& \sum_{j = 1}^n \int_{\Rbb^n} (x_j - y_j)^2 e^{-\frac{|x - y|^2}{4t}}\,dx\\ &+ 2 \sum_{j = 1}^n y_j \int_{\Rbb^n} (x_j - y_j) e^{-\frac{|x - y|^2}{4t}}\,dx\\ &+ \sum_{j = 1}^n \int_{\Rbb^n} y_j^2 e^{-\frac{|x - y|^2}{t}}\,dx \end{align*} と式変形する. 右辺第1項については, 部分積分により $$ \int_{\Rbb} (x_j - y_j)^2 e^{-\frac{(x_j - y_j)^2}{4t}}\,dx_j = \int_{\Rbb} (x_j - y_j) (-2t) \frac{\p}{\p x_j} e^{-\frac{(x_j - y_j)^2}{4t}}\,dx_j = 2t \int_{\Rbb} e^{-\frac{(x_j - y_j)^2}{4t}}\,dx_j $$ となるから, $$ \sum_{j = 1}^n \int_{\Rbb^n} (x_j - y_j)^2 e^{-\frac{|x - y|^2}{4t}}\,dx = \sum_{j = 1}^n 2t \int_{\Rbb^n} e^{-\frac{|x - y|^2}{4t}}\,dx = 2nt (4 \pi t)^{n/2} $$ となる. また, 右辺第2項は奇関数の積分であるから0である. さらに, 右辺第3項は $$ \sum_{j = 1}^n \int_{\Rbb^n} y_j^2 e^{-\frac{|x - y|^2}{t}}\,dx = |y|^2 (4 \pi t)^{n/2} $$ である. 以上をまとめて $$ \int_{\Rbb^n} \frac{1}{(4 \pi t)^{n/2}} |x|^2 e^{-\frac{|x - y|^2}{4t}}\,dx = 2nt + |y|^2 $$ であり, $$ m_2(u(t, \cdot)) = 2nt \int_{\Rbb^n} f(y)\,dy + \int_{\Rbb^n} |y|^2 f(y)\,dy = 2nt m_0(f) + m_2(f) $$ が得られる.

一般の $f \in L^1(\Rbb^n)$ については, $f_+ := \max\{ f(x), 0\}$, $f_- := \max \{ -f(x), 0 \}$ とおき, $f = f_+ - f_-$ と分解する. このとき, $f_\pm \in L^1(\Rbb^n)$ であり, $f_\pm \geq 0$ である. さらに初期値を $f_\pm$ とする Cauchy 問題 (1) の解をそれぞれ $u_\pm$ とすると, 方程式の線型性から $u = u_+ - u_-$ が成り立つ. よって, $m_2(f_+) < \infty$　または $m_2(f_-) < \infty$ を仮定すれば, モーメントの線型性により \begin{align*} m_2(u(t, \cdot)) =& m_2(u_+(t, \cdot)) - m_2(u_-(t, \cdot))\\ =& 2nt m_0(f_+) + m_2(f_+) - (2nt m_0(f_-) + m_2(f_-))\\ =& 2nt m_0(f) + m_2(f) \end{align*} が成り立つ.

高次のモーメント

今回は2次までのモーメント評価を行ったが, 3次以上についてはどのようなモーメント評価が得られるであろうか?

Craig では, 1次元の場合に限り任意次数のモーメント評価を与えている. この評価は初期値 $f$ が任意の $k \in \Nbb$ に対して $|\cdot|^k f \in L^1(\Rbb)$ を満たすことを仮定すれば正当化される. $\Gx$ を $\Rbb^n$ の変数とし, $k$ を multi-index として解釈すれば, これが $n$ 次元での一般次数のモーメント評価を与えることになる. すなわち, multi-index $ \Ga $ に対して $$ m_{|\Ga|, \Ga}(u(t, \cdot)) = 2 \pi i \p_\Gx^\Ga (\hat{H}(t, \Gx) \hat{f}(\Gx))|_{\Gx = 0} $$ である.

なお, 今回は3次以上のモーメントの定義を陽には与えていないが, 上式から逆算して定義を検討すれば良い.

モーメント評価の意味づけ

Boltzmann 方程式であれば, 解の0次モーメントが質量, 1次モーメントが流速, 2次モーメントが温度にそれぞれ対応していたが, 熱方程式についても同様の解釈は可能であろうか? また, これは物理面からの解釈であるが, 数学面からは何か解釈を与えられないだろうか?

一般の放物型方程式の解のモーメント評価

今回は熱核の表示を利用して熱方程式の解のモーメント評価を与えたが, 一般の放物型方程式に対して同様のモーメント評価を与えることはできるだろうか?

参考文献

W. Craig, A Course on Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics 197, American Mathematical Society, USA (2018).