$$
\newcommand{\pv}{\mbox{p.v.}}
\newcommand{\nm}{\noalign{\smallskip}}
%\newcommand{\qed}{ $\Box$}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%\newcommand{\pf}{\noindent {\sl Proof}. \ }
\newcommand{\p}{\partial}
\newcommand{\pd}[2]{\frac {\p #1}{\p #2}}
\newcommand{\eqnref}[1]{(\ref {#1})}
\newcommand{\Abb}{\mathbb{A}}
\newcommand{\Cbb}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Hbb}{\mathbb{H}}
\newcommand{\Ibb}{\mathbb{I}}
\newcommand{\Nbb}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Kbb}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Rbb}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Sbb}{\mathbb{S}}
\renewcommand{\div}{\mbox{div}\,}
\newcommand{\la}{\langle}
\newcommand{\ra}{\rangle}
\newcommand{\Acal}{\mathcal{A}}
\newcommand{\Bcal}{\mathcal{B}}
\newcommand{\Ccal}{\mathcal{C}}
\newcommand{\Ecal}{\mathcal{E}}
\newcommand{\Fcal}{\mathcal{F}}
\newcommand{\Hcal}{\mathcal{H}}
\newcommand{\Lcal}{\mathcal{L}}
\newcommand{\Kcal}{\mathcal{K}}
\newcommand{\Ncal}{\mathcal{N}}
\newcommand{\Dcal}{\mathcal{D}}
\newcommand{\Pcal}{\mathcal{P}}
\newcommand{\Qcal}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\Rcal}{\mathcal{R}}
\newcommand{\Scal}{\mathcal{S}}
\newcommand{\Tcal}{\mathcal{T}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% define bold face
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\Ba{{\bf a}}
\def\Bb{{\bf b}}
\def\Bc{{\bf c}}
\def\Bd{{\bf d}}
\def\Be{{\bf e}}
\def\Bf{{\bf f}}
\def\Bg{{\bf g}}
\def\Bh{{\bf h}}
\def\Bi{{\bf i}}
\def\Bj{{\bf j}}
\def\Bk{{\bf k}}
\def\Bl{{\bf l}}
\def\Bm{{\bf m}}
\def\Bn{{\bf n}}
\def\Bo{{\bf o}}
\def\Bp{{\bf p}}
\def\Bq{{\bf q}}
\def\Br{{\bf r}}
\def\Bs{{\bf s}}
\def\Bt{{\bf t}}
\def\Bu{{\bf u}}
\def\Bv{{\bf v}}
\def\Bw{{\bf w}}
\def\Bx{{\bf x}}
\def\By{{\bf y}}
\def\Bz{{\bf z}}
\def\BA{{\bf A}}
\def\BB{{\bf B}}
\def\BC{{\bf C}}
\def\BD{{\bf D}}
\def\BE{{\bf E}}
\def\BF{{\bf F}}
\def\BG{{\bf G}}
\def\BH{{\bf H}}
\def\BI{{\bf I}}
\def\BJ{{\bf J}}
\def\BK{{\bf K}}
\def\BL{{\bf L}}
\def\BM{{\bf M}}
\def\BN{{\bf N}}
\def\BO{{\bf O}}
\def\BP{{\bf P}}
\def\BQ{{\bf Q}}
\def\BR{{\bf R}}
\def\BS{{\bf S}}
\def\BT{{\bf T}}
\def\BU{{\bf U}}
\def\BV{{\bf V}}
\def\BW{{\bf W}}
\def\BX{{\bf X}}
\def\BY{{\bf Y}}
\def\BZ{{\bf Z}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abbreviate definitions of greek symbols
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\Ga}{\alpha}
\newcommand{\Gb}{\beta}
\newcommand{\Gd}{\delta}
\newcommand{\Ge}{\epsilon}
\newcommand{\Gve}{\varepsilon}
\newcommand{\Gf}{\Gvf}
\newcommand{\Gvf}{\varphi}
\newcommand{\Gg}{\gamma}
\newcommand{\Gc}{\chi}
\newcommand{\Gi}{\iota}
\newcommand{\Gk}{\kappa}
\newcommand{\Gvk}{\varkappa}
\newcommand{\Gl}{\lambda}
\newcommand{\Gn}{\eta}
\newcommand{\Gm}{\mu}
\newcommand{\Gv}{\nu}
\newcommand{\Gp}{\pi}
\newcommand{\Gt}{\theta}
\newcommand{\Gvt}{\vartheta}
\newcommand{\Gr}{\rho}
\newcommand{\Gvr}{\varrho}
\newcommand{\Gs}{\sigma}
\newcommand{\Gvs}{\varsigma}
\newcommand{\Gj}{\Phi^*}
\newcommand{\Gu}{\upsilon}
\newcommand{\Go}{\omega}
\newcommand{\Gx}{\xi}
\newcommand{\Gy}{\psi}
\newcommand{\Gz}{\zeta}
\newcommand{\GD}{\Delta}
\newcommand{\GF}{\Phi}
\newcommand{\GG}{\Gamma}
\newcommand{\GL}{\Lambda}
\newcommand{\GP}{\Pi}
\newcommand{\GT}{\Theta}
\newcommand{\GS}{\Sigma}
\newcommand{\GU}{\Upsilon}
\newcommand{\GO}{\Omega}
\newcommand{\GX}{\Xi}
\newcommand{\GY}{\Psi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\BGG}{{\bf \GG}}
\newcommand{\BGf}{\mbox{\boldmath $\Gf$}}
\newcommand{\BGvf}{\mbox{\boldmath $\Gvf$}}
\newcommand{\Bpsi}{\mbox{\boldmath $\Gy$}}
\newcommand{\wBS}{\widetilde{\BS}}
\newcommand{\wGl}{\widetilde{\Gl}}
\newcommand{\wGm}{\widetilde{\Gm}}
\newcommand{\wGv}{\widetilde{\Gv}}
\newcommand{\wBU}{\widetilde{\BU}}
%%%%%%%%%%
\newcommand{\Jfrak}{\mathfrak{J}}
%%%%%%%%%%
\newcommand{\beq}{\begin{equation}}
\newcommand{\eeq}{\end{equation}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\ol{\overline}
\def\bs{\backslash}
\def\wt{\widetilde}
\newcommand{\hatna}{\widehat{\nabla}}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator{\divergence}{div}
\DeclareMathOperator{\Real}{Re}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$$
1次元熱方程式の解の一意性
1次元熱方程式の Cauchy 問題
\[
\begin{cases}
u_t(t, x) = u_{xx}(t, x), &(t, x) \in (0, \infty) \times \Rbb,\\
u(0, x) = f(x), & x \in \Rbb \tag{1}
\end{cases}
\]
の解の一意性について考察する. 特に, \(u\) に有界性を課さない場合には, Cauchy 問題の解は一意とならないことを見る. この例は John を参照した.
以下, \(f = 0\) とする. \(\Ga > 1\) とし, 関数 \(g \in C^\infty([0, \infty))\) を次で定義する.
$$
g(t) :=
\begin{cases}
\exp \left( - t^{-\Ga} \right), \quad t > 0,\\
0, \quad t = 0.
\end{cases}
$$
この関数 \(g\) に対しては, 次の評価が成り立つ.
\(\Ga\) のみに依存する正の定数 \(\Gt\) が存在して, 任意の \(t > 0\) に対して
$$
|g^{(k)}(t)| < \frac{k!}{(\Gt t)^k} \exp \left( - \frac{1}{2} t^{-\Ga} \right)
$$
が成り立つ. ただし, \(g^{(k)}\) は函数 \(g\) の \(k\) 階導函数である.
関数 \(g\) の定義域を右半平面 \(\Hbb := \{ z = x + i y \in \Cbb \mid x > 0, y \in \Rbb \}\) に拡張する. ただし, 必要であれば実軸上で元の実関数 \(g\) と一致する分枝を取るものとする. このとき,
$$
\left( \frac{\p}{\p x} + i \frac{\p}{\p y} \right)(x + iy)^{-\Ga} = 0
$$
であるから, 関数 \(g\) は \(\Hbb\) 上の正則函数となる. よって, Cauchy の積分公式より, 任意の \(z \in \Hbb\) に対して
$$
g(z) = \frac{1}{2 \pi i} \int_\Gg \frac{g(\Gz)}{\Gz - z}\,d\Gz
$$
が成り立つ. ただし, \(\Gg\) は点 \(z\) を囲む \(\Hbb\) 内の (求長可能な) 単純閉曲線である. 特に, この公式から
$$
g^{(k)}(z) = \frac{k!}{2 \pi i} \int_\Gg \frac{g(\Gz)}{(\Gz - z)^{1 + k}}\,d\Gz
$$
が従う.
今, \(z = t > 0\) とし, 閉曲線 \(\Gg\) を中心が \(t\), 半径が \(\Gt t\) の円周とする. \(0 < \Gt < 1\) とすれば, \(\Gg \subset \Hbb\) であることに注意する. さらに, \(\Gt\) を十分小さく取れば, \(\Gg\) 上で
$$
\Real ( z^{-\Ga} ) > \frac{1}{2} t^{-\Ga}
$$
が成り立つようにすることができる. このように \(\Gt\) を取れば,
$$
|g^{(k)}(t)| \leq \frac{k!}{2 \pi (\Gt t)^{1 + k}} \int_\Gg |g(\Gz)|\,|d\Gz| \leq \frac{k!}{(\Gt t)^k} \exp \left( -\frac{1}{2} t^{-\Ga} \right)
$$
が得られる.
\(\Box\)
この評価を基に, 次の級数 \(u\) を考える.
\[
u(t, x) := \sum_{k = 0}^\infty \frac{g^{(k)}(t)}{(2k)!} x^{2k}, \quad t \geq 0, x \in \Rbb. \tag{2}
\]
補題1. より, 任意の \(t > 0\) と \(x \in \Rbb\) に対して
\begin{align*}
\sum_{k = 0}^\infty \left| \frac{g^{(k)}(t)}{(2k)!} x^{2k} \right| \leq& \sum_{k = 0}^\infty \left| \frac{k!}{(2k)!(\Gt t)^k} x^{2k} \right| \exp \left( - \frac{1}{2} t^{-\Ga} \right)\\
\leq& \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{k!} \left( \frac{x^2}{ \Gt t } \right)^k \exp \left( - \frac{1}{2} t^{-\Ga} \right)\\
=& \exp \left( t^{-1} \left( \frac{x^2}{\Gt} - \frac{t^{1 - \Ga}}{2} \right) \right)
\end{align*}
が成り立つ. すなわち, 級数 \(u\) は \((0, \infty) \times \Rbb\) 上広義一様絶対収束する. また, 任意の \(k \in \Nbb \cup \{ 0 \}\) に対して \(g^{(k)}(0) = 0\) であるから, 任意の \(x \in \Rbb\) について \(u(0, x) = 0\) である.
\((0, \infty) \times \Rbb\) 上の函数 \(U\) を
$$
U(t, x) := \exp \left( t^{-1} \left( \frac{x^2}{\Gt} - \frac{t^{1 - \Ga}}{2} \right) \right)
$$
で定義する. このとき, 関数 \(U(t, x)\) は \(t \downarrow 0\) の極限で \(0\) に収束する. 先の評価から \(t > 0\) において \(|u(t, x)| \leq U(t, x)\) であるから, 任意の \(x \in \Rbb\) について
$$
\lim_{t \downarrow 0} u(t, x) = 0
$$
である. すなわち, 関数 \(u\) は \([0, \infty) \times \Rbb\) 上連続で, \(u(0, x) = 0\) である.
また, \(u\) に項別微分を施すと,
\begin{align*}
u_t(t, x) =& \sum_{k = 0}^\infty \frac{g^{(k + 1)}(t)}{(2 k)!} x^{2k},\\
u_{xx}(t, x) =& \sum_{k = 1}^\infty \frac{g^{(k)}(t)}{(2 k - 2)!} x^{2k - 2} = \sum_{k = 0}^\infty \frac{g^{(k + 1)}(t)}{(2 k)!} x^{2k}
\end{align*}
が得られる. 再び 補題1. より, 任意の \(t > 0\) と \(x \in \Rbb\) に対して
$$
\sum_{k = 0}^\infty \left| \frac{g^{(k + 1)}(t)}{(2 k)!} x^{2k} \right| \leq \frac{1}{\Gt t} \exp \left( - \frac{1}{2} t^{-\Ga} \right) \left\{ 1 + \frac{x^2}{\Gt t} \exp \left( \frac{x^2}{\Gt t} \right) \right\}
$$
が成り立つから, 左辺の級数は \((0, \infty) \times \Rbb\) 上広義一様絶対収束する. よって, 項別微分は \((0, \infty) \times \Rbb\) 上の各点で正当化され, \(u_t = u_{xx}\) が成り立つ.
以上より, (2) 式で定義される函数 \(u\) は Cauchy 問題 (1) の古典解である. 一方, 関数 \(u = 0\) も解であるから, Cauchy 問題 (1) の古典解は一意でないことが分かる.