移流方程式の L^p 解の存在

$\GO$ を $\Rbb^d$ の有界領域とし, その境界 $\p \GO$ は区分的に $C^1$ 級であるとする. また, $n(x)$ を点 $x \in \p \GO$ における外向き単位法線ベクトルとする. さらに, $a(x) = (a_1(x), \ldots, a_d(x))$ を $\ol{\GO}$ 上の $C^1$ 級ベクトル場とし, 各 $x \in \ol{\GO}$ において $|a(x)| \neq 0$ とする. このとき, 領域 $\GO$ の境界 $\p \GO$ を次の3つに分解する. \begin{align*} \GG_+ :=& \{ x \in \p \GO \mid n(x) \cdot a(x) > 0 \},\\ \GG_- :=& \{ x \in \p \GO \mid n(x) \cdot a(x) < 0 \},\\ \GG_0 :=& \p \GO \bs (\GG_+ \cup \GG_-). \end{align*}

$x_0 \in \GG_-$ とし, 初期値問題 \[ \begin{cases} \frac{dx}{dt}(t) = a(x(t)),\\ x(0) = x_0 \tag{1} \end{cases} \] を考える. ベクトル場 $a$ が $\ol{\GO}$ 上で $C^1$ 級であるから, 初期値問題 (1) は一意解 $X(t; x_0)$ を持つ. この解 $X(t; x_0)$ に対して, $$ \tau_+(x_0) := \sup \{ t \geq 0 \mid X(t; x_0) \in \GO \} $$ とおく. 簡単のため, 以下では $T_+ := \sup_{x_0 \in \GG_-} \tau_+(x_0) < \infty$ を仮定する. また, 領域 $\GO$ の部分集合 $\GO_0$ を $$ \GO_0 := \{ x \in \GO \mid \mbox{ある } x_0 \in \GG_- \mbox{ とある } 0 < t < \tau_+(x_0) \mbox{ が存在して } x = X(t; x_0) \} $$ で定義し, 以下では集合 $\GO \backslash \GO_0$ の測度が $0$ であることを仮定する.

$1 \leq p < \infty$ とする. $\GG_+$ 上の関数 $u_0$ に対して $$ \| u_0 \|_{L^p(\GG_+; |n \cdot a|)} := \left( \int_{\GG_+} |u_0(x_0)|^p |n(x_0) \cdot a(x_0)|\,d\Gs_{x_0} \right)^{1 / p} $$ とし, $$ L^p(\GG_+; |n \cdot a|) := \{ u_0 \mid \| u_0 \|_{L^p(\GG_+; |n \cdot a|)} < \infty \} $$ とする. 同様にして, 関数空間 $L^p(\GG_-; |n \cdot a|)$ を定義する.

まず, $u_0 \in C^1_0(\GG_-)$, $f \in C^1_0(\GO_0)$ のとき, 境界値問題 (2) の古典解が存在することを証明する. $\GO \cup \GG_-$ 上の関数 $u$ を以下で定義する. \[ u(x) := \begin{cases} u_0(x), &x \in \GG_-,\\ u_0(x_0) + \int_0^t f(X(s; x_0))\,ds, &x = X(t, x_0) \in \GO_0,\\ 0, &otherwise. \tag{3} \end{cases} \] 特性曲線の方法により, この関数 $u$ が古典解となっていることが分かる.

次に, $1 \leq p < \infty$, $u_0 \in C^1_0(\GG_-)$, $f \in C^1_0(\GO_0)$ のとき, (3) で定義される古典解 $u$ は $L^p$ 解であることを証明する. 境界 $\p \GO$ の近傍では $f = 0$ であるから, (3) で定義される関数 $u$ の定義域を $C^1(\GO) \cap C^0(\ol{\GO})$ の元として $\ol{\GO}$ へ拡張できる. あとは部分積分により結論が得られる.

続いて, $1 \leq p < \infty$, $u_0 \in C^1_0(\GG_-)$, $f \in C^1_0(\GO_0)$ のとき, (3) で定義される古典解 $u$ は評価式 \[ \| u \|_{L^p(\GO)} \leq 2^{1 - 1/p} A_0^{1/p} \| u_0 \|_{L^p(\GG_-; |n \cdot a|)} + 2^{1 - 1/p} A_p^{1/p} \| f \|_{L^p(\GO)} \tag{4} \] を満たす. ただし, \begin{align*} A_0 :=& \sup_{x_0 \in \GG_-} \int_0^{\tau_+(x_0)} \exp \left( \int_0^t (\div a)(X(r; x_0))\,dr \right)\,dt,\\ A_p :=& \sup_{x_0 \in \GG_-} \tau_+(x_0)^{p - 1}\int_0^{\tau_+(x_0)} \exp \left( \int_0^t (\div a)(X(r; x_0))\,dr \right)\,dt \end{align*} である. 証明は [1] に譲る.

最後に, 任意の $u_0 \in L^p(\GG_-; |n \cdot a|)$, $f \in L^p(\GO)$ に対して境界値問題 (2) の $L^p$ 解が存在することを証明する. $C^1_0(\GG_-)$, $C^1_0(\GO_0)$ はそれぞれ $L^p(\GG_-; |n \cdot a|)$, $L^p(\GO)$ で稠密であるから, $(u_0, f) \in L^p(\GG_-; |n \cdot a|) \times L^p(\GO)$ に収束する点列 $(u_{0, n}, f_n) \in C^1_0(\GG_-) \times C^1_0(\GO_0)$ が取れる. $(u_{0, n}, f_n)$ に対応する境界値問題 (2) の古典解を $u_n$ とすると, 評価式 (4) より $\{ u_n \}$ は $L^p(\GO)$ の Cauchy 列である. よって, 極限 $u = \lim_{n \rightarrow \infty} u_n \in L^p(\GO)$ が存在する. また, 古典解 $u_n$ は $L^p$ 解でもあったから, 任意の $n \in \Nbb$ と $\Gvf|_{\GG_+} = 0$ を満たす任意の $\Gvf \in C^1(\GO) \cap C^0(\ol{\GO})$ に対して $$ \int_\GO u_n(x) \div(- a(x) \Gvf(x))\,dx = \int_{\GG_-} u_{0, n}(x_0) \Gvf(x_0) |n(x_0) \cdot a(x_0)|\,d\Gs_{x_0} + \int_\GO f_n(x) \Gvf(x)\,dx $$ が成立する. 両辺で $n \rightarrow \infty$ の極限を取れば, $$ \int_\GO u(x) \div(- a(x) \Gvf(x))\,dx = \int_{\GG_-} u_0(x_0) \Gvf(x_0) |n(x_0) \cdot a(x_0)|\,d\Gs_{x_0} + \int_\GO f(x) \Gvf(x)\,dx $$ が得られる. よって, 先の極限関数 $u$ が境界値問題 (2) の $L^p$ 解であることが分かった.

以上より, 任意の $u_0 \in L^p(\GG_-; |n \cdot a|)$, $f \in L^p(\GO)$ に対して境界値問題 (2) の $L^p$ 解は存在する.

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移流方程式の \(L^p\) 解の存在

参考文献