\(L>0\), \(d>0\), \(T>0\) として次の領域 \begin{align*} &\Omega \equiv \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid 0 < x < L,\ -d <y < 0\},\\ &\Gamma_1 \equiv \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid 0\le x\le L,\ y=0\},\\ &\Gamma_2 \equiv \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid 0\le x\le L,\ y=-d\}, \end{align*} を定め, 以下の初期値境界値問題を考察する: \[ \Phi(t;\cdot,y) \in C^2_\#(0,L), t\in[0,T],\ y\in[-d,0], \tag{1} \] \[ \Delta \Phi(t;x,y)=0, (x,y)\in \Omega,\ t \in (0,T), \tag{2} \] \[ \frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2}(t;x,y) + g \frac{\partial \Phi}{\partial y}(t;x,y) = 0, (x,y)\in \Gamma_1,\ t \in (0,T), \tag{3} \] \[ \frac{\partial \Phi}{\partial y}(t;x,y) + G \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2}(t;x-\delta,y) =0, (x,y)\in \Gamma_2,\ t \in (0,T) \tag{4} \] \[ \Phi(0;x,y)=f(x,y), (x,y)\in\Omega, \tag{5} \] \[ \frac{\partial \Phi}{\partial t}(0;x,y)=h(x,y), (x,y)\in\Omega. \tag{6} \] ただし, 初期値 \(f\), \(h\) は次の整合条件を満たすものとする: \(f,h\in C^2(\overline{\Omega})\) は \(\Omega\) 上の調和関数であり, \[ f(\cdot,y), h(\cdot,y) \in C^{2}_{\#}(0,L), y\in[-d,0], \tag{7} \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} + G \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x-\delta,y) =0, (x,y)\in \Gamma_2, \tag{8} \] \[ \frac{\partial h}{\partial y} + G \frac{\partial^2 h}{\partial x^2}(x-\delta,y) =0, (x,y)\in \Gamma_2 \tag{9} \] を満たす.
(1)--(6) を \(x\) 変数について Fourier 級数展開すると, \[ \frac{\partial^2 \Phi_n}{\partial y^2}(t,y) = \mu_n^2 \Phi_n(t,y), t\in(0,T),\ y\in(-d,0), \tag{10} \] \[ \frac{\partial^2 \Phi_n}{\partial t^2}(t,y) + g \frac{\partial \Phi_n}{\partial y}(t,y)=0, t\in(0,T),\ y=0, \tag{11} \] \[ \frac{\partial \Phi_n}{\partial y}(t,y) - G\mu_n^2 e^{-i \mu_n \delta} \Phi_n(t,y)=0, t\in(0,T),\ y=-d, \tag{12} \] \[ \Phi_n(0,y) = f_n(y), y\in(-d,0), \tag{13} \] \[ \frac{\partial \Phi_n}{\partial t}(0,y) = h_n(y), y\in(-d,0) \tag{14} \] となる. ただし, \begin{align*} &X_n(x) = \frac{1}{\sqrt{L}}e^{i\mu_n x},\quad \mu_n = \frac{2n\pi}{L},\\ &\Phi_n(t,y) = \int_0^L \Phi(t;x,y)\overline{X_n(x)}\,dx,\\ &f_n(y) = \int_0^L f(x,y)\overline{X_n(x)}\,dx,\\ &h_n(y) = \int_0^L h(x,y)\overline{X_n(x)}\,dx \end{align*} とおいた. また \(f_n\), \(h_n\) の満たす整合条件は \[ \frac{d^2 f_n}{dy^2}(y)=\mu_n^2 f_n(y),\, y\in(-d,0), \tag{15} \] \[ \frac{d^2 h_n}{dy^2}(y)=\mu_n^2 h_n(y),\, y\in(-d,0), \tag{16} \] \[ \frac{d f_n}{dy}(-d) - G\mu_n^2 e^{-i \mu_n \delta} f_n(-d)=0,\tag{17} \] \[ \frac{d h_n}{dy}(-d) - G\mu_n^2 e^{-i \mu_n \delta} h_n(-d)=0 \tag{18} \] と書き下される. 初期値境界値問題 (10)--(14) について, 次の定理が証明された.
\(n\in\mathbb{Z}\) に対して \(f_n(y)\), \(h_n(y)\) が整合条件 (15)--(18) を満たす時, 次が成り立つ.
(1)--(6) を満たす解は, 定理1. で求めた Fourier モード解の線形結合, すなわち \[ \Phi(t; x, y) = (F_0 + H_0t) X_0(x) + \sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} \left(F_n\cosh(\omega_n t)+\frac{H_n}{\omega_n}\sinh(\omega_n t)\right) Y_n(y) X_n(x) \tag{22} \] で表されると予想される. しかしこの無限和がどの位相で収束し, その極限が (1)--(6) を満たすかどうかを議論することは困難である.
初期値境界値問題 (1)--(6) の解 (22) の \(L^2\) 安定性を議論する. \(L^2\) 安定の定義は次のとおりである.
初期値境界値問題 (1)--(6) の解 \(\Phi(t; x, y)\) が \(L^2\) 安定であるとは, 初期値 \(f\), \(h\) およびパラメータ \(g\), \(G\), \(L\), \(d\), \(\delta\), \(m\) に依存する定数 \(C > 0\) が存在して, 任意の \(t \in [0, \infty)\) に対して $$ \| \Phi(t; \cdot, \cdot) \|_{L^2(\Omega)} \leq C $$ が成り立つことを言う.
初期値境界値問題 (1)--(6) の解の \(L^2\) 安定性について, \(\delta = 0\) の場合には次の評価が成り立つ.
\(\delta = 0\) とする. また, 初期値 \(f\), \(h\) は整合条件 (7)--(9) に加えて, \[ \int_0^L h(x, y)\,dx = 0, \quad y \in [-d, 0] \] \tag{23} を満たすと仮定する. このとき, 初期値境界値問題 (1)--(6) の解 (22) に対して次が成立する: 任意の \(t \in [0, \infty)\) に対して \[ \| \Phi(t; \cdot, \cdot) \|_{L^2(\Omega)} \leq \sqrt{2} \max \{1, \tilde{\omega}_1^{-1} \} (\| f \|_{L^2(\Omega)} + \| h \|_{L^2(\Omega)}) \tag{24} \] が成り立つ. ただし, \(\tilde{\omega}_n = i^{-1} \omega_n = \sqrt{g \mu_n \theta_n}\) である.
形式的に \(Y_0(y) = 1\) とおくと, Fourier 級数展開の一意性と整合条件 (7)--(9) から $$ f(x, y) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} F_n Y_n(y) X_n(x), \quad h = \sum_{n \in \mathbb{Z}} H_n Y_n(y) X_n(x) $$ が \(L^2(\Omega)\) の意味で成立し, 条件 (23) から \(H_0 = 0\) が従うことに注意する. この時, Parseval の等式より, 任意の \(t \in [0, \infty)\) について \begin{align*} \| \Phi(t; \cdot, \cdot) \|_{L^2(\Omega)}^2 =& \int_{-d}^0 |F_0|^2\,dy + \int_{-d}^0 \sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} \left| \left( F_n \cos(\tilde{\omega}_n t) + \frac{H_n}{\tilde{\omega}_n} \sin(\tilde{\omega}_n t) \right) Y_n(y) \right|^2\,dy\\ \leq& 2 \max \{1, \tilde{\omega}_1^{-2} \} \int_{-d}^0 \sum_{n \in \mathbb{Z}} (|F_n|^2 + |H_n|^2) |Y_n(y)|^2\,dy\\ =& 2 \max \{1, \tilde{\omega}_1^{-2} \} (\| f \|_{L^2(\Omega)}^2 + \| h \|_{L^2(\Omega)}^2)\\ \leq& 2 \max \{1, \tilde{\omega}_1^{-2} \} (\| f \|_{L^2(\Omega)} + \| h \|_{L^2(\Omega)})^2 \end{align*} が成り立つ. ここで, \(\min \{1, \tilde{\omega}_1\} \leq \inf_{n \neq 0} |\tilde{\omega}_n|\) であることを用いた [1]. 両辺の平方根を取って, 不等式 (24) を得る.
仮定 (23) を除くと, Parseval の等式から任意の \(t \in [0, \infty)\) に対して $$ \| \Phi(t; \cdot, \cdot) \|_{L^2(\Omega)} \geq \sqrt{d} |F_0 + H_0 t| $$ が成り立ち, 初期値境界値問題 (1)--(6) の解 \(\Phi(t; x, y)\) は \(L^2\) 安定ではない. 実際には流速 \(\frac{\partial \Phi}{\partial x}(t; x, y)\) および \(\frac{\partial \Phi}{\partial y}(t; x, y)\) が意味のある量であるから, このような不安定性は問題ではない.
\(\delta = 0\) とする. このとき, 初期値境界値問題 (1)--(6) の解 (22) に対して次が成立する: 任意の \(t \in [0, \infty)\) に対して \[ \| \nabla \Phi(t; \cdot, \cdot) \|_{L^2(\Omega)} \leq \sqrt{2} \max \{1, \tilde{\omega}_1^{-1} \} (\| \nabla f \|_{L^2(\Omega)} + \| \nabla h \|_{L^2(\Omega)}) \tag{25} \] が成り立つ.
\(\delta > 0\) の場合には, \(t\) について \(\Phi_n(t, y)\) が指数増大するようなモード \(n\) が存在することが知られている [2]. すなわち, 一般には初期値境界値問題 (1)--(6) の解 (22) は \(L^2\) の意味で不安定である. そもそも, \(t > 0\) を固定した時, どのような条件下で級数 (22) が \(L^2(\Omega)\) の意味で収束するかは非自明である.